部分分数分解

分母が2次式のパターンの応用で解けます。

1/{ (k+1)(k+2) }を部分分数分解すると、
1/{ (k+1)(k+2) } = { 1/(k+1) } - { 1/(k+2) }

この式の両辺に1/kをかけると、
左辺は、
1/{ k(k+1)(k+2) }
右辺は、
[ 1/{k(k+1)} ] - [ 1/{k(k+2)} ]
となるので、
1/{k(k+1)}と1/{k(k+2)}をそれぞれ部分分数分解すれば、
1/{ k(k+1)(k+2) }を部分分数分解したことになります。

1/{ k(k+1) } = (1/k) - {1/(k+1)}
1/{ k(k+2) } = (1/2)[ (1/k) - {1/(k+2)} ]
であるから、
1/{ k(k+1)(k+2) }
= (1/k)･[ { 1/(k+1) } - { 1/(k+2) } ]
= [ 1/{k(k+1)} ] - [ 1/{k(k+2)} ]
= (1/k) - {1/(k+1)} - (1/2)[ (1/k) - {1/(k+2)} ]
= (1/k) - {1/(k+1)} - (1/2)(1/k) + (1/2){1/(k+2)}
= (1/2)(1/k) - {1/(k+1)} + (1/2){1/(k+2)}
と部分分数分解できます。

………

また、
1/{ k(k+2) } = (1/2)[ (1/k) - {1/(k+2)} ]
であるから、
この式の両辺に1/(k+1)をかけると、
左辺は、
1/{ k(k+1)(k+2) }
右辺は、
(1/2)[ {1/k(k+1)} - {1/(k+1)(k+2)} ]
となります。