y＝f(x)とy＝g(x)のグラフがx＝aで接するとき、f(a)＝g(a)と、f'(a)＝g'(a)が成り立つ。
接するのだからf(a)＝g(a)は明らかである。f'(a)とg'(a)は、其々aに於けるf(a)とg(a)の接線の傾きを示すので、これも一致しなければならない（x＝aで交わる場合は、f'(a)≠g'(a)となる）。
このとき、方程式f(x)＝g(x)は、重解x＝aを持つ。この事は、以下のように証明される。まず、方程式f(x)＝g(x)を(x－a)^2で割った時の商をq(x)、余りをmx＋nと置く(1)。このmx＋nが0になる事を示せばよい。
(1)は、xが何でも成り立つ恒等式として置いたのだから、x＝aでも成り立つ。
代入すると、f(a)＝g(a)より、ma＋n＝0となる。
次に、(1)の両辺をxで微分する。(2)も、xが何でも成り立つ恒等式となる。右辺は積の微分公式を用いる。
x＝aを代入すると、m＝0であることが分かる。従って、n＝0となり、mx＋n＝0が確かめられた。
xy平面の曲線C:xy^2＝4上の点P_0(x_0、y_0)におけるCの接線とCとの共有点のうち、P_0と異なるものをP_1(x_1、y_1)とする。P_1の座標をy_0を用いて表せ（2007年東大、一部抜粋）。
xy^2＝4のP_0での接線は、図のような式になる（陰関数の微分などで求める）。
この場合、xy^2＝4をy＝f(x)、この接線をy＝g(x)と考えると、方程式f(x)＝g(x)は、x＝x_0の重解を持つ。
この方程式を作るため、接線の方のyをxy^2＝4に代入してxの次数で揃えると、以下のようになる。
これは、(x－x_0)^2で割り切れるはずだから、組立除法で割ってみる。
従って、方程式は以下のように置け、重解以外の解が求められ、P_1の座標をy_0で示すことが出来た（P_1のy座標は図から分かるとおり負となっている）。
