ハライチのターンってどういう意味ですか？

「ターン」自体はゲームの用語です。
双六や将棋を思い浮かべて頂いたら良いとおもわれますが、
そのゲームを進めるプレイヤーの順番を言います。

ハライチが使っている「ターン」の
出典としては『遊戯王』からではないでしょうか。

2014年春から2016年秋までTBSラジオで放送されていた『デブッタンテ』という番組がありました。
パーソナリティーはハライチとうしろシティの二組で、
一時間の番組の中で前半と後半をそれぞれのコンビが担当していました。
そのハライチの担当する時間になったときに澤部さんが「ハライチのターン」と言っていました。
ここからはハライチの担当する時間ですよ、という意味合いでのことでしょう。

その後『デブッタンテ』が発展的解消する形で『うしろシティ 星のギガボディ』『ハライチのターン!』となりました。
『デブッタンテ』の中での決めぜりふが番組名になったわけです。