どうして0で割ってはいけないの？ – 0で割れたらどうなってしまうのか？

2018年9月15日

割り算を分配するための道具だと考える

現実世界で、割り算を使う場面というのはとても多いものです。

中でも、お金などをみんなに平等に分配するときは、割り算を活用することが多いのではないでしょうか。

 

「三人で買った宝くじが当たったよ！」

「111万円を分配するには、一人いくら受け取ればいいんだろう？」

という時、我々は、

と求めます。

つまり、このときの割り算は、一人あたりいくらを受け取ればいいのかという計算になっているわけです。

 

では、もしも配当を受け取る人が0人だったらどうなるでしょうか？

0人で買った宝くじというものがすでに意味不明ですが、111万円を0人に分配するための式は、上と同じように考えればこうなります。

 

しかし、受取人がいないのに、どうやったら受け取らせることが出来るでしょうか。

受取人はいないけど、受け取るお金がある、というのが解決不能です。

 

相続権者はいるんだけど、行方不明などで所在や口座が不明のために分配できない、というのとは違う問題です。

受取人がいないんです。

 

そのため、分配の道具として割り算を使用するケースを考えるなら、0除算は答えを出せないことになります。

 

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除法（割り算）を乗法（掛け算）の逆演算として考える

引き算は足し算の逆演算だと聞いたことはないでしょうか。

 

というのは、表現を変えれば、

です。

 

「AからBを引いたらいくつになりますか？」

という問いは、それ自体が全く同時に、

「Bにいくつを足したらCになりますか？」

という問いなのです。

 

つまり、A−B=XのXを求めることは、A=B+XのXを求めることと等しいのです。

それ故に、減法（引き算）は加法（足し算）の逆演算だと言われます。

 

同じように、除法（割り算）は乗法（掛け算）の逆演算とされています。

ならば、

となります。

先ほどと同じ表現をすれば、A/B=XのXを求めることは、A=B×XのXを求めることと等しいのです。

しかし、引き算の時とは違う問題があります。

それが0除算です。

 

上の式でB=0だったとき、

となりますが、この時のXはいくつになるでしょうか？

割り算は掛け算の逆演算であることを考えると、Xは同時に

も満たさなければなりません。

 

これが0以外であれば簡単です。12/3＝4は12＝3∗4も満たします。

 

ところが、

では、

を満たすようなXは存在しません。

0に何を掛けても12にはなってくれないからです。

 

被除数も0のケースも考えてみましょう。

の時は、

を満たすようなXは存在するでしょうか？

…しますね。

全部です。

0に何を掛けても0になりますので、Xが何だろうと、0＝0×Xを満たします。

 

0を0で割る操作に関しては別の記事で詳しく解説していますので、すごく深いところまで知りたい方は下のリンクからどうぞ！

 

というわけで、0除算はまともな計算として認められず、未定義のままに置かれています。

未定義、つまり数学はそういう計算に対して答えを出さない、ということです。

 

0除算を認めるとこうなる

0除算を、公理的に考えてみましょう。

数学には公理があります。公理というのは、約束事、ルールブックです。

公理から様々な定理が生み出されていきます。

 

でも、今回は公理とは何かにはあまりこだわらず、「数学的計算をするためのしきたり」くらいに考えておいてください。

 

そのしきたりによれば、

が導かれます。

「0に何を掛けても0になりますよ」ということです。

 

また、

というしきたりも定められています。

x−1とは1xのことを表しています。

つまり、xに1xを掛けたら1になるという意味です。

そりゃまぁ、これはx×1xのことですから、当たり前ですよね。

 

ここまでは、皆さんがご存じの当たり前のしきたりなのですが、この二つのしきたりをあわせると数学が崩壊するのです。

 

ここまででは、まだ0除算は禁止されていません。

ですから、

という式を書き出すことが可能です。

ならば、

という式も書けるはずです。

 

しかし、これがくせ者でして、上記二つのしきたりにこの式を当てはめるとこうなります。

初めのしきたり①（0に何を掛けても0になる）からは、

ですね。

次にしきたり②（xにx−1を掛ければ1になる）からは、

は導けます。

 

どちらも同じ式からの導出なので、

つまり、0=1が成り立つことになってしまいます。

 

というわけでして、これまでに定められたしきたりに従うと、0＝1というとんでもない答えが出てきてしまいます。

世界の終わりです。

これを認めた瞬間、我々が使ってきた便利な道具としての数学は跡形もなく崩れ去ります。

 

これを認めてしまうと、

という次第で、あらゆる数は0と等しくなり、

このようにして、全ての数は全ての数と等しくなります。

 

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これを防ぐための0≠1

こんなバカな話はありませんので、これを防ぐために、もう一つのしきたりが用意されています。

それが0≠1です。

この≠という記号は「ノットイコール」と読まれ、イコールの反対、「等しくない」という意味を表しています。

 

数学は、0≠1というしきたりを用意することで、数学の崩壊を防いだわけです。

これによって、0=1という式は数学世界から排除されました。

もう0=1というのは、数式として認めてもらえないのです。

 

そして同時に、0=1を導き出してしまうような要因も、数学社会から追放されます。

そうして0除算は禁止されるのです。

より厳密な表現をするならば、「0除算した式は、数学的な式と見なされない」とか、「数学は0除算を定義していない」ということになります。

 

よって10という式は、数学的な回答を出せません。

それはもう数学が扱う式ではなくなっているからです。

 

まとめ

• 0人に分配するというのは意味不明だから0で割るのはやめた方がいい
• A=0×XのXを満たすものは、「存在しない」か「なんでもいい」のどちらか。んなアホな。
• 0除算を認めると0＝1を認めることになる。
• 数学は0除算を定義していない