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立体角

立体角

立体角の計算

  • 式

    • 面積 S の曲面を点 O から見込む立体角 Ω は以下のように書ける。

      •  

      • \begin{eqnarray*} \Omega &=& \int_S \frac{\mbox{\boldmath $r$}\cdot d\mbox{\boldmath $S$}}{r^{\,3}} \\ &=& \int_S \frac{\hat{\mbox{\boldmath $r$}} \cdot \hat{\mbox{\boldmath $n$} } }{r^2}dS \end{eqnarray*}

      •  

    • ここで、dS は曲面上の微小領域の面積、$\hat{\mbox{\boldmath $n$}}$ は微小領域の単位法線ベクトル、dS は単位法線ベクトルに微小領域の面積をかけたベクトル、 r は微小領域の位置ベクトル、r は位置ベクトルの大きさ、$\hat{\mbox{\boldmath $r$}}$ は r 方向の単位ベクトルを表す。また、$\hat{\mbox{\boldmath $n$}}$ と $\hat{\mbox{\boldmath $r$}}$ の間の角を θ とすると $\cos\theta = \hat{\mbox{\boldmath $r$}}\cdot\hat{\mbox{\boldmath $n$}}$ となるので、上記立体角 Ω は

      •  

      • \begin{eqnarray*} \Omega = \int_S \frac{\cos\theta}{r^2}dS \end{eqnarray*}

      •  

    • と書くことも出来る。これは次のように解釈できる。点 O から微小領域を見るとθだけ傾いているので、点 O から見た微小領域の面積は cosθ だけ小さくなり、cosθdS となる。微小領域が r だけ離れた場所にある場合、この領域を見込む立体角は cosθdS / r2 となる。これを面積 S の曲面全体にわたって積分すれば、曲面を見込む立体角になる。

円板を見込む立体角

  • 式

    • 上図の円板を見込む立体角 Ω (円板が張る立体角、円錐の頂点が底面を見込む立体角)は、

      •  

      • $\Omega = 2\pi(1-\cos\alpha)$

      •  

    • である。ただし、点 C は円の中心で、線分 OC は円に垂直である。

      •  

  • 導出(その1)

    • 求める立体角 Ω は、点 O からの距離 $\cos\alpha$ の平面が単位球面から切り取る曲面の面積に等しい (下図参照) 。

    • この面積は以下のように計算できる。

      •  

      • \begin{eqnarray*} \Omega&=& \int_0^{2\pi}\int_0^\alpha\sin\theta d\theta d\varphi \\ &=& 2\pi[-\cos\theta]_0^\alpha \\ &=& 2\pi(1-\cos\alpha) \end{eqnarray*}

      •  

  • 導出(その2)

    • 下図のような座標を考える。

    • 点(0,0,c) から点 (x,y,0) にある微小面積 ΔxΔy を見込む微小立体角は、点 (x,y,0) と点 (0,0,c) の距離 r と図中の角 θ を用いて以下のように書ける。

      •  

      • \begin{eqnarray*} \frac{\cos\theta}{r^2}\Delta x\Delta y \end{eqnarray*}

      •  

    • 求める立体角 Ω はこれを x, y で積分して

      •  

      • \begin{eqnarray*} \Omega &=& \int_{-a}^a\int_{-\sqrt{a^2-y^2}}^{\sqrt{a^2-y^2}}\frac{\cos\theta}{r^2}dxdy \\ \end{eqnarray*}

      •  

    • となる。これを計算すれば良い。x, y, r は c, θ, φ を用いて

      •  

      • \begin{eqnarray*} x &=& c\tan\theta\cos\varphi \\ y &=& c\tan\theta\sin\varphi \\ r &=& \frac{c}{\cos\theta} \end{eqnarray*}

      •  

    • と書ける。この時、積分範囲は $\theta: 0 \rightarrow \alpha, \ \ \varphi: 0 \rightarrow 2\pi$ となる。また、ヤコビ行列式を計算すると (立体角/ノート参照)、

      •  

      • \begin{eqnarray*} \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(\theta,\varphi)}\right| = \frac{c^2\sin\theta}{\cos^3\theta} \end{eqnarray*}

      •  

    • となるので、

      •  

      • \begin{eqnarray*} \Omega &=& \int_{-a}^a\int_{-\sqrt{a^2-y^2}}^{\sqrt{a^2-y^2}}\frac{\cos\theta}{r^2}dxdy \\ &=& \int_0^{2\pi}\int_0^\alpha \cos\theta\frac{\cos^2\theta}{c^2} \frac{c^2\sin\theta}{\cos^3\theta} d\theta d\varphi \\ &=& \int_0^{2\pi}\int_0^\alpha \sin\theta d\theta d\varphi \\ \end{eqnarray*}

        •  

    • と書き換えることができる。これを計算すれば求める立体角が出る(下記参照)。

      •  

      • \begin{eqnarray*} \Omega &=& \int_0^{2\pi}\int_0^\alpha \sin\theta d\theta d\varphi \\ &=& 2\pi[-\cos\theta]_0^\alpha\\ &=& 2\pi(1-\cos\alpha) \end{eqnarray*}

      •  

三角形を見込む立体角

  • 式

    • 単位球面内に三角形が置かれているとする (単位球面外でも良い)。点 O から三角形を見込む立体角 Ω (三角形が張る立体角、三角錐の頂点から底面を見込む立体角) は、図の単位球面上の球面三角形 (spherical triangle) の面積に等しい。三角形の各辺を見込む（普通の）角を a, b, c、球面三角形の各頂点の (普通の) 角を A, B, C とすると $s = (a+b+c)/2$ を用いて、

      •  

      • \begin{eqnarray} \Omega &=& A+B+C-\pi \nonumber\\ &=& 4\arctan\sqrt{\tan\frac{s}{2}\tan\frac{s-a}{2}\tan\frac{s-b}{2}\tan\frac{s-c}{2}}\ \ \ ({\rm l'Huilier's\ theorem})\nonumber\\ &=& 4\arctan\sqrt{\tan\frac{a+b+c}{4}\tan\frac{-a+b+c}{4}\tan\frac{a-b+c}{4}\tan\frac{a+b-c}{4}}\nonumber \\ &=& 4\arctan\frac{\sqrt{4\cos\frac{a}{2}\cos\frac{b}{2}\cos\frac{c}{2}-(1+\cos a+\cos b+\cos c)}}{\sqrt{4\cos\frac{a}{2}\cos\frac{b}{2}\cos\frac{c}{2}+(1+\cos a+\cos b+\cos c)}}\nonumber \\ &=& \arctan\frac{\sqrt{1-\cos^2a-\cos^2b-\cos^2c+2\cos a\cos b\cos c}(1+\cos a+\cos b+\cos c)}{\cos a+\cos b+\cos c+\cos^2 a+\cos^2 b+\cos^2 c+ \cos a\cos b+\cos a\cos c+\cos b\cos c-\cos a\cos b\cos c} \nonumber \end{eqnarray}

      •  

    • となる。いくつか違う形の式を書いたが、変形すれば同じになる。(ただし適応範囲は違うかも。最後の式とか。後で確認。)この立体角は球面過剰 (spherical excess) とも言う。球面三角形の頂点の角 A は弧 AB を含む面と弧 AC を含む面の間の角と言うことも出来る。
    • 参考

  • 導出

  • 三角形を見込む立体角計算ノート

直角三角形を見込む立体角

  • 式

    • 直角三角形が図のように置かれている場合、この直角三角形を見込む立体角 Ω (直角三角形が張る立体角) は、図の単位球面上の直角球面三角形 (right spherical triangle) の面積に等しい。直角三角形の斜辺でない 2 辺を見込む（普通の）角を a, b、 球面三角形の図の頂点の (普通の) 角を A, B とすると

      •  

      • \begin{eqnarray} \Omega &=& A+B-\frac{\pi}{2} \nonumber \\ &=& \arctan\frac{\sin a\sin b}{\cos a+\cos b} \nonumber \\ &=& \arcsin\frac{\sin a\sin b}{1+\cos a\cos b} \nonumber \end{eqnarray}

      •  

    • となる。

長方形を見込む立体角

  • 式

  • 導出(その１)

    • 下図のように、xy 平面上に置かれた長方形 (横の長さ: a, 縦の長さ: b) が 点 (0,0,c) に対して張る立体角を考える。

    • 点 (x,y,0) にある微小面積 ΔxΔy が点(0,0,c) に対して張る微小立体角は、点 (x,y,0) と点 (0,0,c) の距離 r と図中の角 γ を用いて以下のように書ける。

      •  

      • \begin{eqnarray} \cos\gamma\frac{\Delta x\Delta y}{r^2} \nonumber \end{eqnarray}

      •  

    • 長方形を見込む立体角は、これを x, y で積分して、

      •  

      • \begin{eqnarray} & & \int_0^b\int_0^a\frac{\cos\gamma}{r^2} dxdy\nonumber \\ &=& \int_0^b\int_0^a\frac{c}{\sqrt{x^2+y^2+c^2}}\frac{1}{x^2+y^2+c^2} dxdy\nonumber \\ &=& \int_0^b\int_0^a\frac{c}{(x^2+y^2+c^2)^{3/2}} dxdy\nonumber \end{eqnarray}

      •  

    • となる。この積分は x = ctanθ, y = ctanφ と置くと、α = arctan (a/c), β = arctan (b/c) を用いて次のように計算できる。

      •  

      • \begin{eqnarray} && \int_0^b\int_0^a\frac{c}{(x^2+y^2+c^2)^{3/2}} dxdy\nonumber\\ &=& \int_0^\beta\int_0^\alpha\frac{1}{(1+\tan^2\theta+\tan^2\varphi)^{3/2}}\frac{d\theta}{\cos^2\theta}\frac{d\varphi}{\cos^2\varphi}\nonumber\\ &=& \int_0^\beta\int_0^\alpha \frac{\cos\theta\cos\varphi}{(1-\sin^2\theta\sin^2\varphi)^{3/2}} d\theta d\varphi\nonumber \end{eqnarray}

      •  

    • WolframAlpha でこの積分を計算させると (例は ここ )

      •  

      • \begin{eqnarray} \int_0^\beta\int_0^\alpha \frac{\cos\theta\cos\varphi}{(1-\sin^2\theta\sin^2\varphi)^{3/2}} d\theta d\varphi = \arcsin(\sin\alpha\sin\beta) \nonumber \end{eqnarray}

      •  

    • となる。これを 4 倍すれば、上の方で示した長方形を見込む立体角になる。確認のために右辺を微分すると、

      •  

      • \begin{eqnarray*} \frac{d}{dz}\arcsin z = (1-z^2)^{-1/2} \end{eqnarray*}

      •  

    • なので (論文でも使えそうなリファレンスとしては NIST Digital Library of Mathematical Functions - §4.24 Inverse Trigonometric Functions: Further Properties - (ii) Derivatives - 4.24.E7)

      •  

      • \begin{eqnarray*} \frac{d^2}{d\theta d\varphi}\arcsin(\sin\theta\sin\varphi) = \frac{\cos\theta\cos\varphi}{(1-\sin^2\theta\sin^2\varphi)^{3/2}} \end{eqnarray*}

      •  

    • となる。

      •  

  • 導出(その２)

    • 下図のような座標系を考える。

    • すなわち、半径 r の球面上のある点 (x,y,z) (図中の点 P) を図の θ と φ で指定する。このとき、

      •  

      • \begin{eqnarray} x &=& \frac{r\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta+\tan^2\varphi}}\nonumber\\ y &=& \frac{r\tan\varphi}{\sqrt{1+\tan^2\theta+\tan^2\varphi}}\nonumber\\ z &=& \frac{r}{\sqrt{1+\tan^2\theta+\tan^2\varphi}}\nonumber \end{eqnarray}

      •  

    • と書ける。これは、線分 OB の長さを 1 と考えたとき、線分 AB の長さが tanθ, 線分 BC の長さが tanφ, 線分 OP の長さが $\sqrt{1+\tan^2\theta+\tan^2\varphi}$ となることから導ける。この座標系のヤコビ行列式を計算すると

      •  

      • \begin{eqnarray} \left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}\right| = \frac{r^2\cos\theta\cos\varphi}{(1-\sin^2\theta\sin^2\varphi)^{3/2}}\nonumber \end{eqnarray}

      •  

    • となる (立体角/ノート参照)。ここで r = 1 とすると、長方形 PABC を原点 O から見込む立体角は単位球面上の点 P, A', B', C' で囲まれた曲面の面積となる。この面積は、上記ヤコビ行列式を用いて

      •  

      • \begin{eqnarray} \int_0^\varphi\int_0^\theta \frac{\cos\theta'\cos\varphi'}{(1-\sin^2\theta'\sin^2\varphi')^{3/2}}d\theta'd\varphi'\nonumber \end{eqnarray}

      •  

    • と書ける。導出（その１）と同じように WolframAlpha でこの積分を計算させると (例は ここ )

      •  

      • \begin{eqnarray} \int_0^\varphi\int_0^\theta \frac{\cos\theta'\cos\varphi'}{(1-\sin^2\theta'\sin^2\varphi')^{3/2}}d\theta'd\varphi' = \arcsin(\sin\theta\sin\varphi) \nonumber \end{eqnarray}

      •  

    • となる。すなわち、長方形 PABC を原点 O から見込む立体角が θ と φ で書けたことになる。これを 4 倍すれば、上の方で示した長方形を見込む立体角になる。

      •  

長方形を見込む立体角 (Off-axis の場合)

  • 式

    • 上図のように長方形が置かれている場合、点 P から長方形を見込む立体角 Ω （長方形が点 P に対して張る立体角、四角錐の頂点が底辺を見込む立体角)は、

      •  

      • \begin{eqnarray} \Omega &=& \arcsin(\sin\alpha_1\sin\beta_1)+\arcsin(\sin\alpha_2\sin\beta_2) \nonumber\\ &&-\arcsin(\sin\alpha_1\sin\beta_2)-\arcsin(\sin\alpha_2\sin\beta_1) \nonumber \end{eqnarray}

      •  

    • である。

      •  

  • 導出

    • 立体角 Ω は以下の積分を計算すれば良い。

      •  

      • \begin{eqnarray} \Omega &=& \int_{\beta_1}^{\beta_2}\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \frac{\cos\theta\cos\varphi}{(1-\sin^2\theta\sin^2\varphi)^{3/2}} d\theta d\varphi \nonumber \\ &=& \left[\left[\arcsin(\sin\theta\sin\varphi)\right]_{\theta=\alpha_1}^{\theta=\alpha_2}\right]_{\varphi=\beta_1}^{\varphi=\beta_2} \nonumber\\ &=& \arcsin(\sin\alpha_1\sin\beta_1)+\arcsin(\sin\alpha_2\sin\beta_2) \nonumber\\ &&-\arcsin(\sin\alpha_1\sin\beta_2)-\arcsin(\sin\alpha_2\sin\beta_1) \nonumber \end{eqnarray}

      •  

    • また、次のようにも考えてもよい: 全体の立体角 $\arcsin(\sin\alpha_2\sin\beta_2)$ から $\arcsin(\sin\alpha_1\sin\beta_2)$ と $\arcsin(\sin\alpha_2\sin\beta_1)$ を引き、重なって引いた分の $\arcsin(\sin\alpha_1\sin\beta_1)$ を足せば良い。

last edited 2015-04-30 23:30:09 by NobuyukiKobayashi