常微分方程式論

目　次

序言
第一章　解の存在定理
　第一節　序論
　　§1⋅1.$\mathrm{\S }1\cdot 1.$　求積法
　　§1⋅2.$\mathrm{\S }1\cdot 2.$　古典的微分方程式
　　§1⋅3.$\mathrm{\S }1\cdot 3.$　積分因子
　　§1⋅4.$\mathrm{\S }1\cdot 4.$　定数を係数にもつ線形n$n$階微分方程式
　　§1⋅5.$\mathrm{\S }1\cdot 5.$　定数変化法
　　§1⋅6.$\mathrm{\S }1\cdot 6.$　線形微分方程式の記号的解法
　　§1⋅7.$\mathrm{\S }1\cdot 7.$　無限級数による解法
　　§1⋅8.$\mathrm{\S }1\cdot 8.$　微分方程式の解の存在定理
　第二節　コーシー－リプシッツの方法
　　§1⋅9.$\mathrm{\S }1\cdot 9.$　コーシーの問題
　　§1⋅10.$\mathrm{\S }1\cdot 10.$　コーシーの定理
　　§1⋅11.$\mathrm{\S }1\cdot 11.$　コーシーの折れ線
　　§1⋅12.$\mathrm{\S }1\cdot 12.$　コーシー－リプシッツの方法
　　§1⋅13.$\mathrm{\S }1\cdot 13.$　微分方程式の解をy0$y_0$の関数と見る場合
　第三節　逐次近似法
　　§1⋅14.$\mathrm{\S }1\cdot 14.$　逐次近似法
　第四節　ペアノの定理
　　§1⋅15.$\mathrm{\S }1\cdot 15.$　ペアノの定理
　　§1⋅16.$\mathrm{\S }1\cdot 16.$　ペロンの証明
　第五節　解の単独条件
　　§1⋅17.$\mathrm{\S }1\cdot 17.$　ペアノの条件
　　§1⋅18.$\mathrm{\S }1\cdot 18.$　ペロンの条件
　第六節　連立一階微分方程式
　　§1⋅19.$\mathrm{\S }1\cdot 19.$　コーシーの定理
　　§1⋅20.$\mathrm{\S }1\cdot 20.$　逐次近似法による証明
　　§1⋅21.$\mathrm{\S }1\cdot 21.$　n$n$階微分方程式のコーシーの問題
　　§1⋅22.$\mathrm{\S }1\cdot 22.$　ペアノの定理の拡張
　　§1⋅23.$\mathrm{\S }1\cdot 23.$　解の単独性の条件
　第七節　優関数による方法
　　§1⋅24.$\mathrm{\S }1\cdot 24.$　優関数
　　§1⋅25.$\mathrm{\S }1\cdot 25.$　連立一階微分方程式への拡張
　　§1⋅26.$\mathrm{\S }1\cdot 26.$　f(x, y)$f\left(x,y\right)$が補助変数λ$\lambda$を含む場合
　　§1⋅27.$\mathrm{\S }1\cdot 27.$　初期の値x0, y0$x_0,y_0$の関数としての解
　　§1⋅28.$\mathrm{\S }1\cdot 28.$　解の単独問題
　　§1⋅29.$\mathrm{\S }1\cdot 29.$　逐次近似法
　　§1⋅30.$\mathrm{\S }1\cdot 30.$　コーシー－リプシッツの方法
　　　　　第一章 演習問題
第二章　線形微分方程式
　第一節　基本解
　　§2⋅1.$\mathrm{\S }2\cdot 1.$　基本解
　　§2⋅2.$\mathrm{\S }2\cdot 2.$　特異点における基本解
　　§2⋅3.$\mathrm{\S }2\cdot 3.$　基本方程式の性質
　　§2⋅4.$\mathrm{\S }2\cdot 4.$　特異点における基本解の形
　第二節　確定特異点
　　§2⋅5.$\mathrm{\S }2\cdot 5.$　確定特異点
　　§2⋅6.$\mathrm{\S }2\cdot 6.$　フロベニウスの方法
　　§2⋅7.$\mathrm{\S }2\cdot 7.$　対数の項が入らないための条件
　　§2⋅8.$\mathrm{\S }2\cdot 8.$　x=∞$x=\mathrm{\infty }$が確定特異点となる場合
　第三節　不確定特異点
　　§2⋅9.$\mathrm{\S }2\cdot 9.$　不確定特異点における特性指数
　　§2⋅10.$\mathrm{\S }2\cdot 10.$　正規解と不正規解
　　§2⋅11.$\mathrm{\S }2\cdot 11.$　x=∞$x=\mathrm{\infty }$における正規解
　　§2⋅12.$\mathrm{\S }2\cdot 12.$　微分方程式の既約性
　　§2⋅13.$\mathrm{\S }2\cdot 13.$　ペロンの研究
　　§2⋅14.$\mathrm{\S }2\cdot 14.$　無限行列式によるコッホの研究
　第四節　連立線形微分方程式
　　§2⋅15.$\mathrm{\S }2\cdot 15.$　定数を係数にもつ連立線形微分方程式
　　§2⋅16.$\mathrm{\S }2\cdot 16.$　基本解
　　§2⋅17.$\mathrm{\S }2\cdot 17.$　確定特異点
　　　　　第二章 演習問題
第三章　特殊線形微分方程式
　第一節　フックス型の微分方程式
　　§3⋅1.$\mathrm{\S }3\cdot 1.$　フックス型微分方程式の条件
　　§3⋅2.$\mathrm{\S }3\cdot 2.$　特異点によるフックス型微分方程式の決定
　　§3⋅3.$\mathrm{\S }3\cdot 3.$　リーマンのP$P$関数
　　§3⋅4.$\mathrm{\S }3\cdot 4.$　ガウス微分方程式と超幾何関数
　　§3⋅5.$\mathrm{\S }3\cdot 5.$　ガウス微分方程式のモノドロミー群
　　§3⋅6.$\mathrm{\S }3\cdot 6.$　y1(x)y2(x)${\displaystyle \frac{y_1\left(x\right)}{y_2\left(x\right)}}$が満足させる微分方程式
　　§3⋅7.$\mathrm{\S }3\cdot 7.$　ζ=y1y2${\displaystyle \zeta =\frac{y_1}{y_2}}$による等角写像
　　§3⋅8.$\mathrm{\S }3\cdot 8.$　シュワルツのs$s$関数
　　§3⋅9.$\mathrm{\S }3\cdot 9.$　s$s$関数の逆関数
　　§3⋅10.$\mathrm{\S }3\cdot 10.$　楕円モジュラー関数
　　§3⋅11.$\mathrm{\S }3\cdot 11.$　代数関数だけを解にもつ線形微分方程式
　第二節　随伴微分方程式
　　§3⋅12.$\mathrm{\S }3\cdot 12.$　ラグランジュの関係式
　　§3⋅13.$\mathrm{\S }3\cdot 13.$　随伴微分方程式の関係
　　§3⋅14.$\mathrm{\S }3\cdot 14.$　同次でない線形微分方程式
　　§3⋅15.$\mathrm{\S }3\cdot 15.$　ディニの方法
　第三節　ラプラスおよびオイラー変換
　　§3⋅16.$\mathrm{\S }3\cdot 16.$　ラプラス変換
　　§3⋅17.$\mathrm{\S }3\cdot 17.$　オイラー変換
　　§3⋅18.$\mathrm{\S }3\cdot 18.$　超幾何関数の一般化
　第四節　周期解
　　§3⋅19.$\mathrm{\S }3\cdot 19.$　単周期関数を係数にもつ微分方程式
　　§3⋅20.$\mathrm{\S }3\cdot 20.$　二重周期関数を係数にもつ微分方程式
　　§3⋅21.$\mathrm{\S }3\cdot 21.$　ラメの微分方程式
　　§3⋅22.$\mathrm{\S }3\cdot 22.$　連立微分方程式の場合
　　§3⋅23.$\mathrm{\S }3\cdot 23.$　周期解
　　　　　第三章 演習問題
第四章　近似展開
　第一節　近似級数
　　§4⋅1.$\mathrm{\S }4\cdot 1.$　近似級数の加減乗除
　　§4⋅2.$\mathrm{\S }4\cdot 2.$　近似級数の微分と積分
　第二節　微分方程式の解の近似展開
　　§4⋅3.$\mathrm{\S }4\cdot 3.$　ポアンカレの研究
　　§4⋅4.$\mathrm{\S }4\cdot 4.$　リアプノフの定理
　　§4⋅5.$\mathrm{\S }4\cdot 5.$　k+1$k+1$級微分方程式の場合
　　§4⋅6.$\mathrm{\S }4\cdot 6.$　三階微分方程式
　　§4⋅7.$\mathrm{\S }4\cdot 7.$　ベッセル微分方程式
　　§4⋅8.$\mathrm{\S }4\cdot 8.$　実軸上以外の近似展開
　　§4⋅9.$\mathrm{\S }4\cdot 9.$　ラプラス展開によらない近似展開
　　§4⋅10.$\mathrm{\S }4\cdot 10.$　補助変数による近似展開
　　§4⋅11.$\mathrm{\S }4\cdot 11.$　ルジャンドル微分方程式
　　　　　第四章 演習問題
第五章　境界値問題
　第一節　ステュルムの定理
　　§5⋅1.$\mathrm{\S }5\cdot 1.$　境界値問題
　　§5⋅2.$\mathrm{\S }5\cdot 2.$　ステュルムの定理
　　§5⋅3.$\mathrm{\S }5\cdot 3.$　ステュルムの定理の応用
　　§5⋅4.$\mathrm{\S }5\cdot 4.$　ステュルムの比較定理
　　§5⋅5.$\mathrm{\S }5\cdot 5.$　ステュルムの振動定理
　　§5⋅6.$\mathrm{\S }5\cdot 6.$　境界値問題の基本定理
　　§5⋅7.$\mathrm{\S }5\cdot 7.$　ステュルム－リウヴィルの定理
　　§5⋅8.$\mathrm{\S }5\cdot 8.$　固有値および固有関数の性質
　第二節　バーコフの定理
　　§5⋅9.$\mathrm{\S }5\cdot 9.$　自己随伴境界条件
　　§5⋅10.$\mathrm{\S }5\cdot 10.$　バーコフの研究
　　§5⋅11.$\mathrm{\S }5\cdot 11.$　バーコフの定理の証明
　　§5⋅12.$\mathrm{\S }5\cdot 12.$　振動定理
　第三節　固有関数による展開問題
　　§5⋅13.$\mathrm{\S }5\cdot 13.$　固有関数の直交性
　　§5⋅14.$\mathrm{\S }5\cdot 14.$　固有関数による任意関数の展開問題
　　§5⋅15.$\mathrm{\S }5\cdot 15.$　積分方程式との関係
第六章　非線形微分方程式
　第一節　特異解
　　§6⋅1.$\mathrm{\S }6\cdot 1.$　特異解
　　§6⋅2.$\mathrm{\S }6\cdot 2.$　代数的微分方程式の特異解
　第二節　一階微分方程式の特異点
　　§6⋅3.$\mathrm{\S }6\cdot 3.$　動かない特異点と動く特異点
　　§6⋅4.$\mathrm{\S }6\cdot 4.$　一階微分方程式の特異点
　　§6⋅5.$\mathrm{\S }6\cdot 5.$　f(x, y)=ϕ(x, y)ψ(x, y)${\displaystyle f\left(x,y\right)=\frac{\varphi \left(x,y\right)}{\psi \left(x,y\right)}}$の分母分子が(x0, y0)$\left(x_0,y_0\right)$で共に0$0$となる場合
　　§6⋅6.$\mathrm{\S }6\cdot 6.$　リッカチ微分方程式
　　§6⋅7.$\mathrm{\S }6\cdot 7.$　動く分岐点をもたない一階微分方程式
　　§6⋅8.$\mathrm{\S }6\cdot 8.$　二階および三階微分方程式
　　§6⋅9.$\mathrm{\S }6\cdot 9.$　本書で論じ得なかった諸問題
　　参考書目
　　文献補遺
　　索引
　　人名索引
　　和英独対訳術語

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訳者オリジナル

図版目次
訳者あとがき