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◆この講座の内容（レッスンのタイトル）をまとめて書いておきます。
  • レッスン１　　　　％（パーセント）に対する恐怖心をなくそう！
  • レッスン２　　　　食塩水の絵を描こう！
  • レッスン３　　　　絵を見みて、式を作ろう！
  • レッスン４　　　　問題を解いてみよう！
このレッスンをやるのに必要な時間は　人によって違いますが、




レッスン１

％（パーセント）に対する恐怖心をなくそう！



●このレッスンでは　％について余計な恐怖心を持たなくていいように　「％についての心得」　を書いておきます。　もしあなたが


　　　　　％（パーセント）　＝　むずかしいもの


と考えているとしたら、それは間違いです。


　　　　　％（パーセント）　＝　～倍　と同じもの


と考えてください。　これが「％の心得」です。




●例えば　３００円の ２倍はいくら？　といわれたらあなたはどのように計算しますか？　　当然　次のようにやりますよね。


　　　　　　３００円　×　２　　


でしょ？　では　３００円の５％はいくら？　といわれたらどうですか？
実は　％になっても全く同じなのです。　いいですか？　たとえば・・・



●方程式で食塩水の問題を解くときに必要な知識は、たったこれだけです。　では、確認のために練習をやってみましょう。


●ノートを用意して下さい。　そして次の問題をやってみて下さい。　
わからない問題はとばして構いませんが、答合わせの時にしっかり確認してください。

答合わせは【練習】ごとに（①～⑤が終わったら）やります。　
では始めましょう。


【練習１】
①３％は何倍のこと？
②３４％は何倍のこと？
③１２０％は何倍のこと？
④ａ％は何倍のこと？
⑤（ａ＋ｂ）％は何倍のこと？


できましたか？　では答合わせをして下さい。　

答はこちら





【練習２】次の問題の「式」と「答」を書きなさい。
①２００円の１０％はいくら？
②３００ｇの８％は何ｇ？
③１５０人の１２０％は何人？
④１５０人のａ％は何人？
⑤ｙｇのｘ％は何ｇ？

答はこちら



●答合わせまで終わりましたか？　レッスン１　はこれで終わりです。
繰り返しますが、中学の方程式で「食塩水の問題」を解くときに必要になる　「％の知識」　はこれだけです。　これだけをしっかり覚えておいてください。





















レッスン２

食塩水の絵を描こう！




●ここでは、食塩水の絵（図）を描く練習をします。　慣れれば１分もかかりませんから面倒くさがらずにやりましょう。　図を描くときのポイントは、次の４つです。







●ではさっそく練習をしてもらいます。　まず例題を見てもらい、　それを見ながら実際に図を描いてもらいます。　　例題は７つあり、パターンごとに次のように並んでいます。　覚えなければならないのは　③～⑦の５つだけです。
  • ①　（準備運動）
  • ②　（準備運動）
  • ③　食塩水に　水を加える　パターン
  • ④　食塩水から　水を蒸発させる　パターン
  • ⑤　食塩水に　塩を加える　パターン
  • ⑥　２種類の食塩水を混ぜる　パターン
  • ⑦　食塩水の　一部分を抜き取る　パターン
では例題を見ながら、作図練習をやってもらいましょう。





食塩水に　水を加える　パターン
③ 10％ の食塩水 ２００ｇ に水を ｘｇ 加えると ４％ の食塩水になる。







●では、ここでまず例題①、②、③のパターンについて作図練習をしてもらいます。わからなくなったら【例題】の絵を参考にして構いませんが、必ず自分の手で、ノートに実際に絵を描いてください。（頭の中だけで考えたりしないように！）　では、始めましょう。



【練習３】　次のことに注意して、下の①～③を図にしなさい。
  • 与えられた条件（数字など）は全て書き込む
  • 塩の量を計算する式を書いておく

①　７％の食塩水５００ｇを作った。

②　ａ％の食塩水が３００ｇある。

③　４％の食塩水２００ｇに水を ｙ ｇ 加えたら２％の食塩水になった。

答はこちら



●答合わせまで終わったら、次の例題に進みましょう。






食塩水から　水を蒸発させる　パターン
④ 10％ の食塩水 ２００ｇ から水を ｘｇ 蒸発させると 12％ の食塩水になる。







食塩水に　塩を加える　パターン
⑤　４％の食塩水に ４０ｇ の食塩を加えると、　１０％の食塩水になった。　４％の食塩水は何ｇあったのか？

※４％の食塩水が　ｘｇ　あったとして、






●また、ここで練習をします。

【練習３】　下の注意書きを守って　④、⑤の問題文を図にしなさい。
  • わからないもの（求めるもの）は　ｘ や ｙ とおいて書き込む
  • 塩の量を計算する式を書いておく


④　４ ％の食塩水３００ｇから水を x ｇ 蒸発させたら　６％の食塩水になった。

⑤　ある濃度の食塩水 300ｇ に、２０ｇの食塩を加えると　１０％の食塩水になった。

答はこちら


●答合わせまで終わりましたか？　それでは最後の例題⑥、⑦に移りましょう。






２種類の食塩水を混ぜる　パターン

●次の例題は、１年生と２、３年生（連立方程式を習った人）とでは、図の描き方が少し違います。　ただし、２、３年生も１年生用の図の描き方を見た上で、連立用の図の描き方を見てみましょう。

⑥　10％の食塩水と５％の食塩水を混ぜて、８％の食塩水を600ｇ作りたい。 　それぞれの食塩水を何ｇずつ用意すればよいか？


※　中学１年用　（１元方程式用）

10％の食塩水を ｘ ｇ　とすると、　　　　
５％の食塩水は（ 600－ ｘ ）ｇ だから




・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

⑥　10％の食塩水と５％の食塩水を混ぜて、８％の食塩水を600ｇ作りたい。 　それぞれの食塩水を何ｇずつ用意すればよいか？


※　中学２年用　（連立方程式用）









食塩水から　一部分を抜き取る　パターン
⑦　１０％の食塩水４００ｇ がある。　これから ｘｇ の食塩水を取りのぞき、　かわりに ｘｇ の水を加えると　濃度は６％になった。　










●ではまた、作図練習です。



【練習３】　次のことに注意して、下の⑥、⑦を図にしなさい。
  • 与えられた条件（数字など）は全て書き込む
  • わからないもの（求めるもの）も　ｘ、（ｙ）と　おいて書き込む
  • 塩の量を計算する式を書いておく


⑥　８％の食塩水と３％の食塩水を混ぜたら　６％の食塩水５００ｇができた。　（下の注意書きを守って）
  • １年生は　８％の食塩水を ｘｇ として図を描くこと。
  • ２年生は　８％の食塩水を ｘｇ、３％のを ｙｇ として図を描くこと。
  • ３年以上は　上記２つのパターンを両方とも描いてみること。


⑦　６％の食塩水 ｘｇ がある。　このうち ２００ｇ を抜きとり、かわりに　２００ｇ の水を加えたら　４％の食塩水になった。

答はこちら


●さて、答合わせまで終わりましたか？　これでレッスン２は終わりです。　理解できなかったところはもう一度見直してから、レッスン３に進みましょう。




レッスン３へ
↓











レッスン３

絵を見て、式を作ろう！


●レッスン３では、いよいよ式を作る作業をやります。　と言っても実は、　レッスン２までにほとんど式は完成しているのです。　あとは「＝（イコール）」をつけるだけなのです。　そのことをこれから説明します。



●「食塩水の問題」を解くとき、一番のポイントになるのは、「食塩の量は同じ」ということです。　つまり、

食塩の量　＝　食塩の量

という等式（方程式）を作ればよいのです。　これが、食塩水の問題（基礎編）を解くときの最大のポイントといえます。


●実際の例を見てみましょう。　レッスン２で使った例題の③～⑦を思い出してください。


③ 10％ の食塩水 ２００ｇ に水を ｘｇ 加えると ４％ の食塩水になるという。　ｘ を求めよ。

※図と、食塩の式は下のようなものでしたね。



ここで注意してほしいのは、


　　（左のビーカーの食塩の量）　＝　（右のビーカーの食塩の量）　


と言うことです。　（水の量や、濃度は変化していますが、塩の量は同じでしょ？）　つまり、式で表すと、
　　　



これが、③の方程式です。　この方程式を解くと　ｘ ＝ 300
と出てきますから、　答は　ｘ ＝ 300　で終わり。　



④ 10％ の食塩水 ２００ｇ から水を蒸発させると 12％ の食塩水になったという。　蒸発させた水の量を求めよ。　　


という問題だったら、　とりあえず　ｘ ｇ　の水を蒸発させるとして、図は下のようなものでした。


ここでも、　（左の食塩の量）　＝　（右の食塩の量）　　ですから、






⑤　４％の食塩水に ４０ｇ の食塩を加えると、　１０％の食塩水になった。　もともと４％の食塩水は何ｇあったのか？　　


　４％の食塩水を　ｘ ｇ　として、


これも同様に　左の食塩　＝　右の食塩　　だから





これを解いて　ｘ ＝ 600　　　　　したがって答は、　
４％の食塩水は　600 ｇ　ということになります。


　⑥ 10％の食塩水と５％の食塩水を混ぜて、８％の食塩水を600ｇ作りたい。 　それぞれの食塩水を何ｇずつ用意すればよいか？


※これも、図と式は下のようでしたね。

●中１，中３（１元方程式）用






ここでは、

（10％の塩の量）　＋　（５％の塩の量）　　＝　　（８％塩の量）

と考えて、方程式は



これを解くと　ｘ ＝ 360　となります。 　よって、

　10％のを　360 ｇ，　　５％のを　(600－360)＝240 ｇ

これが答ということになります。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

●中２，中３（連立方程式）用




ここでは、

（10％の塩の量）　＋　（５％の塩の量）　　＝　　（８％塩の量）

と考え、　さらに　

（塩水の量）　　＋　　（塩水の量）　　＝　　（塩水の量）

ということから、次の２つの等式が書けます。



これを連立して解くと　ｘ ＝ 360 , 　ｙ ＝ 240 　となります。 　よって

　　　　　　10％のを　360 ｇ，　　５％のを　240 ｇ

これが答となります。




⑦　１０％の食塩水４００ｇ がある。　これから ｘｇ の食塩水を取りのぞき、　かわりに ｘｇ の水を加えると　濃度は６％になった。




これも同様に　　塩の量　＝　塩の量　　という等式を作れば、方程式の出来上がりです。


●さあ、理解できましたか？　ちょっとごちゃごちゃしてきましたが、要するに、
  1. 食塩水の図を描き
  2. 食塩の量を求める式を考え
  3. （塩の量）＝（塩の量）となるような式を作る

という手順で、方程式を立てればよいということです。　しかも、覚えなければならないパターンは５つしかありません。　つまり
  • 水を加える
  • 水を蒸発させる
  • 塩を加える
  • ２種類の食塩水を混ぜる
  • 一部分を抜きとる
ということでした。　では、練習問題をやってもらいましょう。


【練習４】　次の文章題は、【練習３】でやってもらった問題のうち、③～⑦を、方程式の文章題としてアレンジしたものです。　あなたのノートに描いてある【練習３】の③～⑦の図を見ながら、方程式を立て、計算し、答を出してください。　（ただし、以前にやったとき、図の描き方が間違っていたものは、改めて描き直してください。）


③　４％の食塩水２００ｇに水を加えたら２％の食塩水になった。　何ｇの水を加えたのか？　水の量を　ｙ ｇ　として解きなさい。



④　４ ％の食塩水３００ｇから水を蒸発させたら　６％の食塩水になった。　蒸発させた水の量を求めよ。



⑤　ある濃度の食塩水 300ｇ に、２０ｇの食塩を加えると　１０％の食塩水になった。　初めにあった食塩水の濃度は何％か。



⑥　８％の食塩水と３％の食塩水を混ぜたら　６％の食塩水５００ｇができた。　それぞれ何 ｇ ずつの食塩水があったのか？　（下の注意書きを守って）
  • １年生は　 ｘ　の方程式（１元方程式）を立てること
  • ２年生は　連立方程式を立てること
  • ３年以上は　上記２つのパターンを両方とも立てること
⑦　６％の食塩水がある。　この食塩水から ２００ｇ を抜きとり、かわりに　２００ｇ の水を加えたら　４％の食塩水になった。６％の食塩水は始め 何ｇ あったのか。

答はこちら




●いかがですか？　方程式を立てる作業はそれほど難しくないでしょ？　図さえ描いてあればね！　　つまり文章題を解く作業というのは、式を立てることがメインではなくて、「図を描くことがメイン」だと考えてください。　これは「食塩水の問題」に限ったことではありません。



●さあ、それではレッスン３はこれで終わります。　疲れた人はちょっとお休みを取りましょう。　「まだまだ大丈夫！」という人は、続けてレッスン４に進んでください。



レッスン４へ
↓








レッスン４

自分の力で解いてみよう




●いよいよ最後のレッスンになりました。　ここでは自力で問題を解いてもらいます。　繰り返しになりますが、　覚えなければならないパターンはわずか５つでしたね。　総復習の意味で、その５つのパターンの図の描き方と方程式の作り方を、下にまとめておきますから、ざっと目を通して、【練習５】に進んでください。








⑦　一部分を抜きとるパターン　





【練習５】　次の問題を読み、図を描き、式をたて、計算し、答を出しなさい。

答はこちら


①　濃度 １２％ の食塩水に水を ２００ ｇ 加えて、８％の食塩水にしたい。　１２％の食塩水を何ｇ用意すればよいか？


②　８％の食塩水Ａと　１５％の食塩水Ｂを混ぜて、１０％の食塩水を７００ｇ作りたい。　Ａ，Ｂをそれぞれ何ｇずつ混ぜればよいか？


③　８％の食塩水１５０ｇがある。　これを熱して水分を蒸発させ、１０％の食塩水を作りたい。　水を何ｇ蒸発させればよいか？　


④　銅を含む合金が２種類ある。　Ａは９０％、Ｂは６０％の銅を含んでいる。　いま、Ａ、Ｂを解かし合わせて　７０％の銅を含む合金を４５ｋｇ作りたい。　Ａ，Ｂ各々何ｋｇずつ溶かせばよいか？

答はこちら



⑤　濃度５．４％の食塩水に５０ｇの食塩を混ぜると、濃度は１４％になった。　５．４％の食塩水はもともと何ｇあったのか？


⑥　濃度１０％のアルコール水溶液２００ｇが入った容器がある。　この容器から ｘ ｇ だけくみ出して、かわりに ２ｘ ｇ の水をこの容器に加えたところ、６％のアルコール水溶液になった。　ｘの値を求めよ。　
（ヒント：アルコールを塩の代わりとして沈殿させた図を描く）


⑦　（中２，中３用）　Ａ，Ｂ２種類の食塩水がある。　Ａを２００ｇ、Ｂを４００ｇ混ぜると６％の食塩水ができ、　Ａを３００ｇ、Ｂを３００ｇ混ぜると５％の食塩水ができる。　Ａ，Ｂの濃度は各々いくらか？

答はこちら



※　以上の問題が自力で解ければ、公立中学の定期テストと公立高校の入試問題は、ほとんど解けると思います。　但し、中には次の問題のように、やや面倒な問題も存在しますので、安心は禁物ですが、きちっと図を描いて式を立てれば必ず解けますから、余裕のある人はやってみて下さい。


⑧（愛知県の入試問題）Ａ、Ｂ２種類の食塩水が４００ｇずつある。食塩水Ａから２００ｇ、食塩水Ｂから１００ｇをとって混ぜたら８％の食塩水ができた。　また、食塩水Ｂの残りの３００ｇに２０ｇの食塩を混ぜたら、　食塩水Ａと同じ濃度になった。　元の食塩水Ａ，Ｂの濃度はそれぞれ何％か。


⑨（香川県の入試問題）容器Ａ、Ｂに、異なる濃度の食塩水が　Ａには４００ｇ、Ｂには３００ｇ入っている。　Ａ，Ｂからそれぞれ１００ｇずつ取り出し、よく混ぜ合わせると、５％の食塩水になった。　
　　次にＡ，Ｂに残っている食塩水をすべて混ぜ合わせ、１００ｇだけ水を蒸発させると、　５．５％の食塩水になった。　
　　　はじめ容器Ａ，Ｂに入っていた食塩水の濃度をそれぞれ ｘ ％、　ｙ ％ とするとき、　ｘ、ｙ の値を求めよ。

答はこちら




●これで「食塩水の問題の解き方（基礎編）」のレッスンは終わりです。　もうあなたは、教科書と問題集（標準レベル）にのっている「食塩水の問題」はほとんど解けるようになっていると思います。　ウソだと思ったら、実際にやってみて下さい。　



●またこのレッスンでは、「私立高校の入試問題レベル」は説明していませんが、図の描き方や式の作り方は全く同じです。　ただ、図が１段ではなく、２段、３段になったり、式が複雑になったりするだけです。　興味のある人や必要な人はどんどんチャレンジしてみてください。　いずれこのレッスン（基礎編）の続編として「応用編」を作り、そこで説明したいと思っています。


・・・・・・・・　　　お疲れさまでした　　　・・・・・・・・・・
　　　　　　






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