高校に入ると数Ⅰの因数分解の分野で、「たすきがけのやり方」を習います。そして、高校数学では、この「たすきがけ」をマスターできるかどうかが非常に大切になってきます。

しかし、多くの子は、この「たすきがけ」でつまづいてしまいます。私も、高校生の時、たすきがけを使いこなせるまでに苦労したことを、今でもよく覚えています。

そして、私の教えている生徒さんも、「たすきがけが嫌い！」とか「たすきがけのやり方がわからない」と聞いてくる子が多いです。

ということで、今回は「たすきがけのやり方やコツ」を、問題を使って解説していきます。たすきがけが苦手な方やできない人はぜひ見ていってください。



例１　たすきがけで、ｘ^２＋４ｘ＋３を因数分解してみよう。

この問題は、はっきり言って、中学レベルなので、「こんなのたすきがけを使わなくても、（ｘ＋１）（ｘ＋３）に決まってるじゃん」と思われるかもしれませんが、何事も基本が大切なんで、あえて中学レベルの問題をたすきがけで解いてみましょう。

それでは、ここからは、見ているだけでなく、実際に自分の手を動かして、やってみてください。たすきがけのコツは、何と言っても、手を動かして慣れることです。


①下のような図を書く。


まず、左図のように書いてみてください。これが、たすきがけをするための最初の作業です。そして、 最終的に右図のように、９か所の？の部分に適切な値を入れることができたら、たすきがけの完成という流れになります。では、次の作業に行きましょう。


②ｘ^２＋４ｘ＋３の数字を図の下の位置に書く。

左から、「１　３　４」と書いていますが、１はｘ^２の係数（ｘ^２の前についている数字のこと）で、３は定数項（ｘがついていない数字のこと）、４はｘの係数を書きます。

係数や定数項など難しい言葉を使いましたが、要するに〇ｘ^２＋△ｘ＋口を因数分解するときは、一番左に〇の値を、真ん中には口の値を、一番右には、△の値を入れればＯＫです。


③一番左の１の上に、かけて１になる２組の数を書く。


次に、左の１の上の空欄に、かけて１になる２組の数を書きます。かけて１になるような２組の数は、 １×１＝１なので、１の上の空欄に「１と１」を書きます。


④真ん中の３の上に、かけて３になる２組の数を書く。


次に、真ん中の３の上の空欄に、かけて３になる２組の数を書きます。かけて３になるような２組の数は、１×３＝３なので、３の上の空欄に「１と３」を書きます。


⑤一番右の４の上に、③と④で書いた数字を斜めにかけた数を書き、足した数が４になればＯＫ。


次に、③と④で書いた数字をそれぞれ斜めに書けます。斜めに書けると図のように、「１×３」と「１×１」なので、その答えである「１と３」を一番右の４の上の空欄に書きます。

この「１と３」を足すと、下の４にぴったり合うので、最後に⑥の作業をして終わりです。もしここで、４にならない場合は、③と④に戻って数字の組み合わせを変えてやり直します。


⑥一番左の上の２組の数字の横にｘをつけて、点線部分のように分ける。

最後に上図のように、一番左の上の２組の数字の横にｘをつけて完成です。左上の２組の数は、１と１なので、１の横にｘをつけて、後は点線部分のように、横に区切って　ｘ＋１　と　ｘ＋３　と見ます。１ｘの１は普通は省略するので、答えは（ｘ＋１）（ｘ＋３）です。





例２　たすきがけで、ｘ^２－５ｘ－６を因数分解しよう。

この問題も、中学レベルなので、答えは（ｘ－６）（ｘ＋１）とわかると思います。しかし、④の作業で、たすきがけを使う際のポイントがあるので、この問題で解説していきます。

①ｘ^２－５ｘ－６の数字を図の下の位置に書く。

〇ｘ^２＋△ｘ＋口をたすきがけを使って、因数分解するときは、一番左に〇の値を、真ん中には口の値を、一番右には、△の値を入れればよいので、左から、「１　－６　－５」と書きます。例１と違って、今回は、－の数が入るので注意してください。


②一番左の１の上に、かけて１になる２組の数を書く。

左の１の上の空欄に、かけて１になる２組の数を書きます。かけて１になるような２組の数は、 １×１＝１なので、１の上の空欄に「１と１」を書きます。ここは、先ほどの問題と同じですね。


③真ん中の－６の上に、かけて－６になる２組の数を書く。

次に、真ん中の－６の上の空欄に、かけて－６になる２組の数を書きます。かけて－６になるような２組の数は、－１×６＝－６や１×（－６）＝－６などがあります。

とりあえず、「－１と６」を－６の上の空欄に書いてみましょう。


④一番右の－５の上に、③と④で書いた数字を斜めにかけた数を書き、たした数が－５になればＯＫ。

次に、③と④で書いた数字をそれぞれ斜めに書けます。斜めに書けると図のように、「１×６」と「１×（－１）」なので、その答えである「－１と６」を右の－５の上の空欄に書きます。

この「－１と６」を足すと、－１＋６＝５となり、下の－５に合いません。ということで、③に戻って、値を入れ変えてみましょう。


⑤もう一度、真ん中の－６の上に、かけて－６になる２組の数を考える。
先ほどの④のところで、たすきがけの結果が合わなかったので、もう一度、真ん中の－６の上の空欄に、かけて－６になる２組の数を考え直してみます。

かけて－６になるような２組の数は、他に１×（－６）＝－６もあるので、今度は、「１と－６」を－６の上の空欄に書いてみましょう。


⑥一番右の－５の上に、③と④で書いた数字を斜めにかけた数を書き、たした数が－５になっていればＯＫ。

斜めに書けると図のように、「１×（－６）」と「１×１」なので、その答えである「１と－６」を一番右の－５の上の空欄に書きます。

この「１と－６」を足すと、１－６＝－５となり、下の－５と同じ数になりました。これで、たすきがけの完成です！


⑦一番左の上の２組の数字の横にｘをつけて、点線部分のように分ける。

最後に、一番左の上の２組の数字の横にｘをつけて完成です。上図より、答えは（ｘ＋１）（ｘ－６）です。今回は、④の作業で、あえて間違った組み合わせの数字を入れました。

たすきがけは、慣れていないと④のように、数字が合わないことがよくあります。しかし、たすきがけに慣れてくると、どの数字を入れたら良いかがわかってきます。

こればっかりは、たくさん練習してもらわないと、実感できませんので、たくさん練習問題をやってみてください。



例３　たすきがけで、２ｘ^２＋３ｘ＋１を因数分解しよう。


今までは、中学生レベルでしたが、ここからは、おまちかねの高校生レベルの問題です。たすきがけの流れは上の①～⑤のようになります。同じように手順を解説しましたので、実際に手を動かして理解してください。


①２ｘ^２＋３ｘ＋１の数字を図の下の位置に書く。

〇ｘ^２＋△ｘ＋口をたすきがけを使って、因数分解するときは、一番左に〇の値を、真ん中には口の値を、一番右には、△の値を入れればよいので、左から、「２　１　３」と書きます。


②一番左の２の上に、かけて２になる２組の数を書く。

左の２の上の空欄に、かけて２になる２組の数を書きます。かけて２になるような２組の数は、 ２×１＝２なので、「２と１」を上の空欄を書きます。今回で３回目なので、そろそろ慣れてきましたか？


③真ん中の１の上に、かけて１になる２組の数を書く。

次に、真ん中の１の上の空欄に、かけて１になる２組の数を書きます。かけて１になるような２組の数は、１×１＝１や－１×（－１）＝１などがあります。とりあえず、「１と１」を１の上の空欄に書いてみましょう。


④一番右の３の上に、③と④で書いた数字を斜めにかけた数を書き、たした数が３になればＯＫ。

斜めに書けると図のように、「２×１」と「１×１」なので、その答えである「２と１」を一番右の３の上の空欄に書きます。この「２と１」を足すと、２＋１＝３となり、下の３に合ったので、完成です！


⑤一番左の上の２組の数字の横にｘをつけて、点線部分のように分ける。

最後に、一番左の上の２組の数字の横にｘをつけて完成です。上図より、答えは（２ｘ＋１）（ｘ＋１）です。


今回は高校生レベルの問題でしたが、難しかったでしょうか？この問題は、たすきがけを使う問題の中では一番基本的な問題なので、しっかりできるようにしていただけたらと思います。



例４　たすきがけで、２ｘ^２－７ｘ－１５を因数分解しよう。

今度は少し難しいたすきがけの問題を解説していきます。難しいといってもやり方は同じなので、①～⑤のようになります。引き続き、手を動かして慣れていってください。


①２ｘ^２－７ｘ－１５の数字を図の下の位置に書く。
〇ｘ^２＋△ｘ＋口をたすきがけを使って、因数分解するときは、一番左に〇の値を、真ん中には口の値を、一番右には、△の値を入れればよいので、左から、「２　－１５　－７」と書きます。もうここは大丈夫ですよね？


②一番左の２の上に、かけて２になる２組の数を書く。

左の２の上の空欄に、かけて２になる２組の数を書きます。かけて２になるような２組の数は、 ２×１＝２なので、「２と１」を上の空欄を書きます。


③真ん中の－１５の上に、かけて－１５になる２組の数を書く。
次に、真ん中の－１５の上の空欄に、かけて－１５になる２組の数を書きます。かけて－１５になるような２組の数は、３×（－５）＝－１５や－５×３＝－１５、－１５×１＝－１５、－１×１５＝－１５などがあります。とりあえず、「３と－５」を－１５の上の空欄に、順番に書いてみましょう。


④一番右の－７の上に、③と④で書いた数字を斜めにかけた数を書き、たした数が－７になればＯＫ。
斜めに書けると図のように、「２×（－５）」と「１×３」なので、その答えである「－１０と３」を一番右の－７の上の空欄に書きます。この「－１０と３」を足すと、－１０＋３＝－７となり、下の－７に合ったので、完成です！

なお、③のところで、「－５と３」や「－１５と１」を書いたりすると、当然、この④での計算が合いません。③で書くべき数字の組合せは「３と－５」が正しかったということです。


⑤一番左の上の２組の数字の横にｘをつけて、点線部分のように分ける。

最後に、一番左の上の２組の数字の横にｘをつけて完成です。上図より、答えは（２ｘ＋３）（ｘ－５）です。たすきがけの問題は、難しくなると、②と③での数字の組合せが複雑になります。

なので、慣れるまでは、こんなにスムーズに解けるとは限りませんが、たくさん問題を解けば、適切な組合せを選べるようになります。



例５　ｘ^２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂを因数分解しよう。

今までは、表に入れた値が数字だけでしたが、今度は文字が入ったたすきがけの問題を解説していきます。ここからが、たすきがけの応用問題となってきます。


①ｘ^２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂの数字を図の下の位置に書く。
〇ｘ^２＋△ｘ＋口をたすきがけを使って、因数分解するときは、一番左に〇の値を、真ん中には口の値を、一番右には、△の値を入れればよいので、左から、「１　ａｂ　ａ＋ｂ」と書きます。文字ａとｂが入ってきましたね。


②一番左の１の上に、かけて１になる２組の数を書く。

左の１の上の空欄に、かけて１になる２組の数を書きます。かけて１になるような２組の数は、 １×１＝１なので、「１と１」を上の空欄を書きます。


③真ん中のａｂの上に、かけてａｂになる２組の数を書く。
次に、真ん中のａｂの上の空欄に、かけてａｂになる２組の文字を書きます。かけてａｂになるような２組の文字は、ａ×ｂ＝ａｂがあるので、「ａとｂ」をａｂの上の空欄に、入れましょう。


④一番右のａ＋ｂの上に、③と④で書いた数字を斜めにかけた数を書き、たした数がａ＋ｂになればＯＫ。
斜めに書けると図のように、「１×ｂ」と「１×ａ」なので、その答えである「ｂとａ」を一番右のａ＋ｂの上の空欄に書きます。この「ｂとａ」を足すと、ｂ＋ａ＝ａ＋ｂとなり、下のａ＋ｂに合ったので、完成です！


⑤一番左の上の２組の数字の横にｘをつけて、点線部分のように分ける。

最後に、一番左の上の２組の数字の横にｘをつけて完成です。上図より、答えは（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）です。たすきがけの問題は、応用問題になると、このように文字が入ってきます。



例６　ｘ^２＋（３ｙ＋１）ｘ＋（ｙ＋４）（２ｙ－３）を因数分解してみよう。
例５から文字が入ったたすきがけの問題を紹介しましたが、今回も同じような問題です。この問題は、例１～例５が基礎になるので、まず例１～５を解けるようになってからチャレンジしてください。


①ｘ^２＋（３ｙ＋１）ｘ＋（ｙ＋４）（２ｙ－３）の数字を図の下の位置に書く。
〇ｘ^２＋△ｘ＋口をたすきがけを使って、因数分解するときは、一番左に〇の値を、真ん中には口の値を、一番右には、△の値を入れればよいので、左から、「１　（ｙ＋４）（２ｙ－３）　３ｙ＋１」と書きます。

文字が入って難しそうですが、例１～例５と同じやり方をすれば絶対に解けますので、何度も言いますが、手をちゃんと動かして、頑張って理解してください。


②一番左の１の上に、かけて１になる２組の数を書く。

左の１の上の空欄に、かけて１になる２組の数を書きます。かけて１になるような２組の数は、 １×１＝１なので、「１と１」を上の空欄を書きます。


③真ん中の（ｙ＋４）（２ｙ－３）の上に、かけて（ｙ＋４）（２ｙ－３）になる２組の数を書く。
次に、真ん中の（ｙ＋４）（２ｙ－３）の上の空欄に、かけて（ｙ＋４）（２ｙ－３）になる２組の文字を書きます。かけて（ｙ＋４）（２ｙ－３）になるような２組の文字は、（ｙ＋４）×（２ｙ－３）＝（ｙ＋４）（２ｙ－３）があるので、「ｙ＋４と２ｙ－３」を（ｙ＋４）（２ｙ－３）の上の空欄に書いてください。


④一番右の３ｙ＋１の上に、③と④で書いた数字を斜めにかけた数を書き、たした数が３ｙ＋１になっていればＯＫ。
斜めに書けると図のように、「１×（２ｙ－３）」と「１×（ｙ＋４）」なので、その答えである「２ｙ－３とｙ＋４」を一番右の３ｙ＋１の上の空欄に書きます。この「２ｙ－３とｙ＋４」を足すと、２ｙ－３＋ｙ＋４＝３ｙ＋１となり、下の３ｙ＋１に一致するので、これで完成です！


⑤一番左の上の２組の数字の横にｘをつけて、点線部分のように分ける。

最後に、一番左の上の２組の数字の横にｘをつけて完成です。上図より、答えは（ｘ＋ｙ＋４）（ｘ＋２ｙ－３）です。この問題を解くことは、かなり難しいと思いますがどうでしたでしょうか？

難しいと感じるようでしたら、まず例１～５の問題を余裕に解けるようになってから、この問題を解いてみてください。



例７　２ｘ^２＋（５ｙ－１）ｘ－（３ｙ－２）（ｙ－３）を因数分解しよう。
今回の問題は、例６よりも文字の組合せが複雑な問題です。この問題ができるようになれば、たすきがけの問題も残りわずかです。


①２ｘ^２＋（５ｙ－１）ｘ－（３ｙ－２）（ｙ－３）の数字を図の下の位置に書く。
〇ｘ^２＋△ｘ＋口をたすきがけを使って、因数分解するときは、一番左に〇の値を、真ん中には口の値を、一番右には、△の値を入れればよいです。

２ｘ^２＋（５ｙ－１）ｘ－（３ｙ－２）（ｙ－３）より、〇＝２、△＝５ｙ－１、口＝－（３ｙ－２）（ｙ－３）なので、空欄には左から、「２　－（３ｙ－２）（ｙ－３）　５ｙ－１」と書きます。


②一番左の２の上に、かけて２になる２組の数を書く。

左の２の上の空欄に、かけて２になる２組の数を書きます。かけて２になるような２組の数は、 ２×１＝２なので、「２と１」を上の空欄を書きます。


③真ん中の－（３ｙ－２）（ｙ－３）の上に、かけて－（３ｙ－２）（ｙ－３）になる２組の数を書く。
次に、真ん中の－（３ｙ－２）（ｙ－３）の上の空欄に、かけて－（３ｙ－２）（ｙ－３）になる２組の文字を書きます。かけて－（３ｙ－２）（ｙ－３）になるような２組の文字は、－（３ｙ－２）×（ｙ－３）があります。

他にも、マイナスを逆にした－（ｙ－３）×（３ｙ－２）がありますが、とりあえず、上の空欄に－（ｙ－３）、（３ｙ－２）の順に書いてみます。


④一番右の５ｙ－１の上に、②と③で書いた数字を斜めにかけた数を書き、たした数が５ｙ－１になっていればＯＫ。
斜めにかけると図のように、「２×（３ｙ－２）」と「１×－（ｙ－３）」なので、その答えである「６ｙ－４と－ｙ＋３」を一番右の５ｙ－１の上の空欄に書きます。

この「６ｙ－４と－ｙ＋３」を足すと、６ｙ－４＋（－ｙ＋３）＝５ｙ－１となり、下に書いてある５ｙ－１に一致するので、これで完成です！

なお、③の空欄で、上から順に「－（ｙ－３）、（３ｙ－２）」と書きましたが、これを「（ｙ－３）、－（３ｙ－２）」や「－（３ｙ－２）、（ｙ－３）」など、マイナスをつける位置や、順番が違うと、５ｙ－１にはなりません。


⑤一番左の上の２組の数字の横にｘをつけて、点線部分のように分ける。
最後に、－（ｙ－３）＝－ｙ＋３、（３ｙ－２）＝３ｙ－２のように、カッコをはずして、一番左の上の２組の数字の横にｘをつけて完成です。上図より、答えは（２ｘ－ｙ＋３）（ｘ＋３ｙ－２）です。



例８　たすきがけで、２ｘ^２＋５ｘｙ－３ｙ^２－ｘ＋１１ｙ－６を因数分解してみよう。

この問題は、今までの問題と違って、〇ｘ^２＋△ｘ＋口の形ではないので、まず自分で、〇ｘ^２＋△ｘ＋口の形に変形する必要があります。

①　２ｘ^２＋５ｘｙ－３ｙ^２－ｘ＋１１ｙ－６

　　↓　〇ｘ^２＋△ｘ＋口にするため、ｘ^２とｘとｘがついていない値の仲間を集める。

②　２ｘ^２＋５ｘｙ－ｘ－３ｙ^２＋１１ｙ－６

　　↓　〇ｘ^２＋△ｘ＋口にするため、カッコでくくる。これを数学では「ｘの降べきの順にする」と言います。

③　２ｘ^２＋（５ｙ－１）ｘ－（３ｙ^２－１１ｙ＋６）

　　↓　３ｙ^２－１１ｙ＋６は因数分解できるので、たすきがけで因数分解する。

④　２ｘ^２＋（５ｙ－１）ｘ－（３ｙ－２）（ｙ－３）


②から③のところは、〇ｘ^２＋△ｘ＋口の〇と△と☐の値がわかりやすいように、カッコでくくっておきます。このとき、－３ｙ^２＋１１ｙ－６をカッコでくくる場合は、－３ｙ^２がマイナスなので、カッコでくくると符号が変わることに注意してください。

なお、このタイプの問題は〇ｘ^２＋△ｘ＋口にすると、必ず口が因数分解できるようになっています（この問題では、３ｙ^２－１１ｙ＋６のこと）ので、④のように因数分解をします。すると、この問題は、上の例７と同じ問題になるので、後は例７のように解いてください。


これで、たすきがけの問題も終了です。この問題ができれば、たすきがけの問題は、ほとんどの問題ができると思います。理解できましたでしょうか？？

たすきがけの問題は高校１年生の最初の壁となる分野だと思いますが、「超重要分野」です。最後までしつこいですが、何度も手を動かして、たすきがけの作り方を理解してください。