参考：クォータニオンの回転補間：掲示板:シムダンス「四次元能」｜Beach - ビーチ
やりたいこと
クオータニオンを理解する
教科書
↓ 素晴らしくわかりやすい。
回転行列の問題
クオータニオンの利点
ジンバルロックがない
計算負荷が低い
2つの回転同士のスムーズな補間が表現できる
x,y,z軸に限らない任意の回転軸での回転が簡単にできる
複素数について
虚数単位
i ** 2 = -1
複素数
a + b * i
複素平面
参考： 複素平面 - Wikipedia
複素数の行列表現
I = numpy.array([[0, -1], [1, 0]]) E = numpy.array([[1, 0], [0, 1]]) I ** 2 = - E Z = a*E + b*I = numpy.array([[a, -b], [b, a]]) Z = numpy.array([[numpy.cos(theta), -numpy.sin(theta)], [numpy.siN(theta), numpy.cos(theta)]]) * numpy.array([[r, 0], [0, r]])
共役
z' = a - b * i z * z' = || z || ** 2
複素数のすごさ
「複素数平面における点の回転」は「複素数のかけ算」に対応している。
「回転を足す」と「複素数を掛ける」は同じ意味！
たとえば、単位円でiを掛けていくと90度ずつ回転する。めちゃ便利。
参考：
二重数について
冪零元
epsilon**n = 0
二重数
z = a + b*epsilon epsilon = numpy.array([[0, 1], [0, 0]]) Z = a + b*epsilon = numpy.array([[a, b], [0, a]])
bを二重部という
クオータニオン
複素数の拡張として考えることができる
q = w + x*i + y*j + z*k # i,j,kは虚軸
基底i,j,kの関係
i**2 = j**2 = k**2 = -i*j*k = -1 i*j = k j*i = -k j * k = i k * j = -i k * i = j i * k = -j
交換法則はなりたたない
クオータニオンはw,x,y,zの組として、
q = [w, x, y, z]
と表記されることがおおい
クオータニオンの演算
共役
q' = [w, -x, -y, -z]
大きさ
v = (x, y, z) |q| = sqrt(w**2 + |v|**2)
乗算
q0q1 = [w0 * w1 - v0 * v1 , w0 * v1 + w1 * v0 + v0 ✕ v1]
内積
q0 * q1 = w0 * w1 + v0 * v1
逆数
q**-1 = q' / |q|**2
単位クオータニオンでは、共役を求めれば逆数が求まることがわかる
行列表現
i = numpy.array([[0, 0, 0, 1], [0, 0, -1, 0],[0, 1, 0, 0],[-1, 0, 0, 0]]) j = numpy.array([[0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1],[-1, 0, 0, 0],[0, -1, 0, 0]]) k = numpy.array([[0, -1, 0, 0], [1, 0, 0, 0],[0, 0, 0, 1],[0, 0, -1, 0]])
3D回転
回転
あるベクトルpを単位クオータニオンを用いて3次元空間で回転を表現する方法
p' = q * p * q**-1 p' = [0, v] q = [qw, qv] # qv:回転軸 p = [0, pv] qw = +- numpy.cos(theta/2.0) qv = +- numpy.sin(theta/2)*u # u:qvと同じ方向の単位ベクトル
上記をまとめると、3次元の回転はクオータニオンを使って以下の式で表される
p' = q * p * q**-1 q = [numpy.cos(theta/2.0) numpy.sin(theta/2.0)*u]
pを単位クオータニオンqで回転したあと、rをつかって回転させる場合、
r*(q*p*q**-1)*r**-1=(rq)*p*(q`r`)=(rq)*p*(rq)`
となり、あらかじめクオータニオンrqを計算してクオータニオンsとして合成しておけば、回転の合成を行うことができる
クオータニオンを使えばどんな回転も一発で表現可能
デュアルクオータニオン
定義
回転のみならず、剛体変換（回転と平行移動）を表現できる。
クオータニオンの二重数である
q^ = r + d * epsilon # r,d: クオータニオン、epsilon:零冪元
所感
わかったようなわからないような。。。とりあえずハミルトン大先生すごい笑
まだ正直、理解しきれてない気がする。追記していこう : )