・ 見かけは悪いが美しい数 Ｓ．Ｈ氏
例えば一般の３次方程式や４次方程式を、解の公式に従って解くと、答に平方根、立方根、
２重根号などが入り乱れて、「汚いな～」という経験をされた方は多いと思う。しかし、ある工
夫をすると、手品のように、我々が知っている身近な数になる場合もある。
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の値は、実は、－９ に等しい。 |
上記のことをすぐに信用する人は多分いないだろう。しかし、「伊東家の食卓」のお父さん
風にいえば、「なるものはなる！」である。実際に、確かめてみよう。
（解） α＝
とおくと、α2＝
なので、 分子 ＝ (１－α＋α2)3
いま、Ｘ＝ １－α＋α2 とおくと、αＸ＝α－α2＋２ ＝ α－（Ｘ－１＋α）＋２＝３－Ｘ
さらに、Ｘ2 ＝ (１－α＋α2)2 ＝ ３(α2－１) なので、Ｘ4 ＝ ９(α2－１)2 ＝ ９（３－２Ｘ）
ここで、（分母）・Ｘ ＝ （１－α）Ｘ ＝ Ｘ－αＸ ＝ ２Ｘ－３
したがって、 与式 ＝ －９ （終）
このような計算技法は、「私の備忘録」の中の裏技の記録 『関数の値』 においても
活用された。
（別解） (１＋α)(１－α＋α2) ＝ １＋α3 ＝ ３ であることを用いれば、もっと楽に求め
ることが出来る。
このとき、 (１＋α)3（１－α） ＝ (１＋α)2（１－α2）
＝ (１＋２α＋α2)（１－α2）
＝１－２α3＝－３
なので、
与式 ＝ ２７/（－３） ＝ －９ （終）
（参考文献：１９９５年度日本数学オリンピック 国内予選問題）
上記の問題について、当ＨＰがいつもお世話になっているＳ（Ｈ）さんが多項式論からのア
プローチを試みられた。（平成２１年２月８日付け）
（解） α＝１－ とおくと、 （α－１）3＝－２ より、 α3－３α2＋３α＋１＝０
このことから、多項式 Ｆ（ｘ）＝ｘ3－３ｘ2＋３ｘ＋１ は、α の最小多項式である。
このとき、 Ｆ（ｘ）＋（－ｘ2＋３ｘ－３）ｘ＝１ であるので、有理数体Ｑに α を添加した体
Ｑ（α）＝Ｑ［ｘ］/（Ｆ（ｘ）Ｑ［ｘ］） において、 １/α＝－α2＋３α－３ が成り立つ。
すなわち、 １/α＝－（１－）2＋３（１－）－３＝－１－－
したがって、 与式＝（１－＋）3（－１－－）
＝－（１－＋）2（１－＋）（１＋＋）
＝－（１－＋）2｛（１＋）2－）
＝３（１－）（１＋＋２）
＝３（１－４）＝－９ （終）
（コメント） 次のように計算してもいいかも．．．と思って計算したら意外に大変だった！
与式＝（１－α＋α2）3（－α2＋３α－３）
＝（１－α＋α2）2｛（１－α＋α2）（－α2＋３α－３）｝
＝（α4－２α3＋３α2－２α＋１）（－α4＋４α3－７α2＋６αー３）
＝（α3－３α＋１）（α3－４α2＋７α－３）
＝３α（α－２）（－α2＋４α－４）
＝－３α（α3－６α2＋１２α－８）
＝－３α（－３α2＋９α－９）
＝９（α3－３α2＋３α）
＝－９
（追記） 平成２１年２月７日付け
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の値は、実は、２ に等しい。 |
そんな問題が、東京理科大学（平成２１年度）で出題された。
一応正解をなぞっておこう。
、 
とおくと、明らかに、 αβ＝２ である。
また、
α3－β3＝（α－β）3＋３αβ（α－β）＝（α－β）3＋６（α－β）＝２０
において、 ｘ＝α－β とおくと、 ｘ3＋６ｘ－２０＝０ となる。
このとき、 （ｘ－２）（ｘ2＋２ｘ＋１０）＝０ において、 ｘ2＋２ｘ＋１０＝０ は実数解を持た
ないので、 ｘ＝２ となる。 すなわち、
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＝２ |
冒頭の問題の出典は定かではないが、東京理科大学の問題は明らかに３次方程式の解
法を意識した問題であることが伺える。
実際に、 ３次方程式 ｘ3＋ａｘ＋ｂ＝０ を解くには、 ｕ 、ｖ についての方程式
（ｕ－ｖ）3＋ａ（ｕ－ｖ）＋ｂ＝０
を満たす一組の解を見つければよい。
（ｕ－ｖ）3＝ｕ3－３ｕ2ｖ＋３ｕｖ2－ｖ3＝ｕ3－ｖ3－３ｕｖ（ｕ＋ｖ）
なので、 ｕ3－ｖ3＋（－３ｕｖ＋ａ）（ｕ＋ｖ）＋ｂ＝０ となる。
そこで、 ｕ3－ｖ3＝－ｂ 、 ｕｖ＝ａ/３ となる ｕ 、ｖ を求めればよい。
ｕ3 、－ｖ3 は、２次方程式 ｔ2＋ｂｔ－ａ3/２７＝０ の解となる。
これと先の結果を合わせると、 α3 、－β3 は、２次方程式
ｔ2－２０ｔ－８＝０
の解となる。逆に考えれば、 α－β は、３次方程式 ｘ3＋６ｘ－２０＝０ の解の一つとな
る。
