第226回　最小上界を求めて（後編）

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僕「最大値って、上界のうち最小のものじゃないのかな……」

ミルカ「それはいい予想。閉区間上の連続関数f(x)$f(x)$が取り得る値の最小上界は、f(x)$f(x)$が取り得る値の最大値になる。あとはそれを証明するだけだ」

僕「証明するだけね……」

テトラ「せ、先輩方。ちょっとお待ちください。テトラはただいま混乱中です。考えるのは上界の最小値でいいんでしょうか。上界の最大値ではなく？」

僕「上界の最小値を考えるのでいいんだよ、テトラちゃん。上界はたくさんあるけど、 そのうち最小のものが関数f(x)$f(x)$の最大値になるっていう話なんだから」

テトラ「ちょっと、図に描かせてください……」

僕「どう？」

テトラ「なるほど……わかりました。最小上界、つまり上界のうち一番小さなものが、関数の最大値になりそうだ……ということですね」

ミルカ「定義も再確認」

ミルカ「最小上界のことは上限（じょうげん）と呼ぶけれど、いまは最小上界という言葉のまま話そう」

僕「最小上界が結局は関数f(x)$f(x)$の最大値になるんじゃないか、というのが僕の予想だよ」

ミルカ「では証明を探っていこう。まず、最小上界をM0$M_0$と置く」

僕「えっ……？」

テトラ「ミルカさん？　あ、あの……いまのは？」

ミルカ「ブックマーク代わりだよ」

テトラ「ブックマーク？」

ミルカ「話を進めよう。最小上界M0$M_0$はもちろん上界でもある。したがって、閉区間[a,b]$[a,b]$に属するどんな実数x$x$に対しても、f(x)≦M0$f(x)\leqq M_0$が成り立つ。それはなぜか。テトラ？」

テトラ「は、はい。わかります。y=f(x)$y=f(x)$のグラフは y=M0$y=M_0$の水平線以下にぜんぶ入っていることになりますから」

僕「というか、上界の定義そのものだよね。M0$M_0$が上界であるというのは、 [a,b]$[a,b]$に属するどんな実数x$x$に対してもf(x)≦M0$f(x)\leqq M_0$ということだから」

テトラ「そうですね」

ミルカ「最小上界M0$M_0$はf(x)≦M0$f(x)\leqq M_0$を満たす。だから、私たちの関心はこの不等式の等号が成立するかどうかだ。 f(m)=M0$f(m)=M_0$を成り立たせるm$m$は閉区間[a,b]$[a,b]$内に存在するか。 もしそのようなm$m$が存在するならば、関数f(x)$f(x)$は最大値f(m)$f(m)$を取る。 f(x)≦M0=f(m)$f(x)\leqq M_0=f(m)$になるから」

僕「そしてそのとき、最大値と最小上界は一致するわけだね」

ミルカ「そういうこと」

テトラ「あ、あのう……あたしはここまで話についてきていると思うのですが、いま、とても不安です」

僕「どうして？」

テトラ「あのですね。f(m)=M0$f(m)=M_0$を成り立たせるm$m$が存在するかどうか……あたし、 こういう問題を見るといつも思うんです。いったいどこから考え始めればいいんでしょうか。 f(x)$f(x)$という関数は具体的に与えられていません。 それなのに何かを考えなさいと言われると、 雲をつかむような気持ちになるんです。 いつもです。いつも、そんな気持ちになります」

僕「f(x)$f(x)$は与えられているよね」

テトラ「えっ？」

僕「問題文に、実数の閉区間[a,b]$[a,b]$から実数全体の集合への連続な関数f(x)$f(x)$とあるから……」

テトラ「連続な関数……という部分ですか？」

僕「きっとそれを使うんだと思うよ。《与えられているものは何か》と問いかけるなら、f(x)$f(x)$は連続……という条件と、 M0$M_0$は最小上界である……という条件をきっと使うことになる」

ミルカ「……」

テトラ「f(x)$f(x)$は連続という条件を、使う……？」

僕「たぶん、数列を作るんだと思うよ。ほらさっきもそうだったよね。 数列を作って、その極限を考えた（第225回参照）」

テトラ「今回も？」

僕「うん、そうだよ。きっと数列を作るんだ。そして関数の連続性を使って、 極限値M0$M_0$に等しくなるf(x)$f(x)$がちゃんと存在する！……という筋書き」

ミルカ「あとはどんな数列を作るかだけの問題だな」

僕「うーん……」

ミルカ「《似た問題を知らないか》」

僕「うん、だから知ってるよ。でもあのときは上界が存在しないと仮定した背理法だったから……」

ミルカ「だから、話は違うと？」

僕「だって、ほら、1<f(x1),2<f(x2),3<f(x3),…$1<f(x_1),2<f(x_2),3<f(x_3),\dots$という性質を持つ⟨xn⟩$⟨x_n⟩$を考えたよね。今回はf(xn)$f(x_n)$を正の無限大に発散させるわけには行かなくて、極限値として……ん？」

ミルカ「今回はf(xn)$f(x_n)$を最小上界M0$M_0$に収束させたいんだろう？」

僕「……」

テトラ「先輩？」

僕「わかってきたぞ。いま考えているのはこういう問題4だよね」

​

僕「うん。こういう不等式を考えてみるんだ！」

テトラ「M0$M_0$は最小上界ですよね。それよりも1n$\frac{1}{n}$だけ小さな実数よりもf(x)$f(x)$が大きい……？」

僕「n$n$は正の整数とする。たとえば、1$1$のとき、

という不等式を満たすx$x$は存在するかというと……」

テトラ「……わかりません」

僕「必ず存在するんだよ、テトラちゃん」

テトラ「……なぜですか。なぜそんなことがいえるんでしょうか」

僕「だって、M0$M_0$は最小上界だよね。M0−1n$M_0-\frac{1}{n}$は最小上界より小さくなる。 最小上界より小さいということは、 M0−1n$M_0-\frac{1}{n}$はf(x)$f(x)$の上界にはなれない。 上界ではない、ということは上界の定義を考えると、

を満たすx$x$が閉区間[a,b]$[a,b]$に存在するといえる！ そこで、そのx$x$の一つを選んでx1$x_1$とする」

テトラ「何となく……わかってきました。こういう感じでしょうか」

​

僕「そうだね。そしてこのグラフでいうと、x1$x_1$はx$x$軸のこの範囲から選ぶ」

​

テトラ「ということは、x2,x3,x4$x_2,x_3,x_4$はここから選ぶのですね」

​

​

​

僕「それをずっと続けていける。n=1,2,3,…$n=1,2,3,\dots$でね。だって、M0$M_0$は最小上界だから！　だから、x1,x2,x3,…$x_1,x_2,x_3,\dots$の存在がいえる」

ミルカ「ふむ。それで？」

僕「それで、この問題4は証明できたね」

ミルカ「……」

僕「数列⟨xn⟩$⟨x_n⟩$を考えると、これは無限数列になって、しかもxn∈[a,b]$x_n\in [a,b]$になる。 ということは、 二つの山になったりしても大丈夫なように、収束する部分列を取る考え方が使えるね（第225回参照）。 数列⟨xn⟩$⟨x_n⟩$から、必ず収束する部分列⟨Xn⟩$⟨X_n⟩$を作ることができる。 [a,b]$[a,b]$という区間を二等分して、無数の項を含んでいる区間の方を選んでいくという論法。 実数列を考えているから、区間縮小法を使って極限値X∞∈[a,b]$X_{\mathrm{\infty }}\in [a,b]$の存在がいえる」

テトラ「なるほど！　確かに同じ議論ですね！」

僕「関数f(x)$f(x)$は連続だから、n→∞$n\to \mathrm{\infty }$でf(Xn)→f(X∞)$f(X_n)\to f(X_{\mathrm{\infty }})$になって、f(X∞)=M0$f(X_{\mathrm{\infty }})=M_0$がいえた。これはすなわちf(x)=M0$f(x)=M_0$を満たすx$x$が存在すると主張している」

テトラ「これで、問題4が証明できて、最小上界M0$M_0$とf(x)$f(x)$の最大値が一致することがわかりましたから、問題3も証明できましたね！」

僕「そうだね！」

ミルカ「残念ながら、まだだ」

テトラ「え……まだですか？」

僕「どうして？」

ミルカ「では、ブックマークに戻ろう」

ミルカ「私たちは最小上界をM0$M_0$と置いた。そして問題4ではそのM0$M_0$を使ってf(x)$f(x)$が最大値を持つことを証明した。 しかしこの議論には大きな欠けがある」

テトラ「大きな欠け？　それは何でしょう、わかりません……」

​

僕「そうか！」

テトラ「えっ？」

僕「わかったよ、ミルカさん。僕たちはまだ《最小上界M0$M_0$の存在》を証明してないんだね」

ミルカ「その通り。最小上界をM0$M_0$と置き、そのようなM0$M_0$がもしも存在したならば、f(x)$f(x)$が最大値を持つことは問題4で証明できた。だがまだそのようなM0$M_0$が存在することは証明していない。それは大きな欠け、論理のギャップだ」

テトラ「うわ……ぜんぜん気がつきませんでしたっ！上界が存在することは証明しましたし、上界がたくさんあることはすぐにわかります。 でも上界の最小値……最小上界が存在するかも気にしなくてはいけないのですね」

ミルカ「ふだんなら気にしないけれど、私たちはいま、平均値の定理→ロルの定理→閉区間上の連続関数が最大値を持つ……という証明の流れをさかのぼっている途中だ。 そこでは最小上界の存在を気にする必要がある。もしも気にしないのなら、 ずっと以前に《あたりまえ》で済ませてもよかった話なのだから」

僕「どうやって証明するんだろう。それ」

ミルカ「私たちがさっきから話題にしている《上界》は、ていねいにいうなら《関数f(x)$f(x)$が閉区間[a,b]$[a,b]$で取り得る値の集合の上界》だ」

僕「そうだね」

ミルカ「そのような上界は無数にあるが、上界のすべてを集めて集合B$B$と呼ぶことにしよう」

テトラ「B$B$は上界全体の集合ということですね？」

ミルカ「そうだ。そして実数全体の集合のうち、集合B$B$に属していない実数をすべて集めた集合をA$A$と呼ぶことにする」

僕「うん？　……ねえ、ミルカさん、これって」

ミルカ「しばらく、口を閉じていてもらっていいかな」

僕「はいはい」

ミルカ「集合A$A$と集合B$B$はどちらも空集合ではない」

テトラ「はい、そうですね」

ミルカ「集合A$A$とB$B$の和集合は、実数全体の集合R$\mathbb{R}$になる」

テトラ「それはそうですね。実数のうちB$B$にないものはすべてA$A$にありますから」

ミルカ「集合A$A$とB$B$の共通部分は、空集合になる」

テトラ「……はい、これもわかります。実数のうちB$B$にないものだけをA$A$に集めたわけですし」

ミルカ「さらに、集合A$A$に属する任意の実数は、集合B$B$の任意の実数より小さい」

テトラ「えっ！……ええと？」

僕「上界だからね」

ミルカ「口を……」

僕「はいはい」

テトラ「ああ、わかりました。B$B$は上界全体の集合ですから、a>b$a>b$になるはずはないですね。上界の一つであるb$b$よりも大きなa$a$は上界の一つになってしまいます。 そのようなa$a$はB$B$の要素でなくてはいけません！」

ミルカ「ここで、君が口を開く」

僕「ミルカさんは、デデキントの集合の切断を作っているんだね？」

ミルカ「その通り」

テトラ「これ……以前お聞きしたことがあります（第156回参照）」

僕「うん、有理数全体の集合の切断を使って実数を構成したよね（第159回参照）」

ミルカ「いまは実数全体の集合R$\mathbb{R}$の切断を考えたことになる。上界全体の集合をB$B$として、B$B$に属さない実数をすべて集めた集合A$A$を考えると、(A,B)$(A,B)$は《R$\mathbb{R}$の切断》になる。 集合A$A$に最大値があるかどうか。集合B$B$に最小値があるかどうか。 それを考えると論理的に4$4$通りの場合のいずれかになる」

（１）A$A$に最大値があり、B$B$に最小値がある場合。

​

（２）A$A$に最大値があり、B$B$に最小値がない場合。

​

（３）A$A$に最大値がなく、B$B$に最小値がない場合。

​

（４）A$A$に最大値がなく、B$B$に最小値がある場合。

​

ミルカ「これを順番に吟味していこう」

テトラ「……」

（１）A$A$に最大値があり、B$B$に最小値がある場合

ミルカ「（１）A$A$に最大値があり、B$B$に最小値がある、ということはありえない。なぜ？」

テトラ「こういう場合ですよね」

テトラ「こういう場合がありえないのはなぜか……中点がどちらにもはいらないから、でしょうか」

ミルカ「それでいい」

テトラ「A$A$の最大値a$a$とB$B$の最小値b$b$の中点a+b2$\frac{a+b}{2}$を考えると、それも実数ですけど、A$A$の最大値より大きくてB$B$の最小値より小さくなるので、 A$A$にもB$B$にも入りません！」

僕「それはA∪B=R$A\cup B=\mathbb{R}$に矛盾する、と」

ミルカ「これで（１）は除外された」

（２）A$A$に最大値があり、B$B$に最小値がない場合

ミルカ「次に（２）A$A$に最大値があり、B$B$に最小値がない、ということはありえない。それはなぜ？」

テトラ「今度は、こういう場合ですね」

テトラ「これがありえない？　A$A$に最大値があったとしたら？」

僕「もしも最大値があったとしたら……きっと矛盾するんだよ」

テトラ「矛盾？」

僕「A$A$の要素はどれもf(x)$f(x)$の上界ではない。もちろん、A$A$の最大値max(A)$max(A)$もf(x)$f(x)$の上界ではない。 ということは、max(A)<f(x0)$max(A)<f(x_0)$になるようなx0$x_0$が存在することになる。 でもそうだとしたら、f(x0)$f(x_0)$はA$A$の要素じゃないはず。だってA$A$の最大値より大きいんだから」

テトラ「は、はあ……」

僕「そのときf(x0)$f(x_0)$はB$B$の要素になる。だってf(x0)$f(x_0)$は実数なんだからA$A$かB$B$かどちらかの要素になる」

テトラ「確かにそうですね」

僕「でもそれじゃ……矛盾する。何に？」

テトラ「？」

僕「うーん、何に矛盾するんだろう……」

ミルカ「f(x0)$f(x_0)$がB$B$の最小値になる」

僕「ん？　……そうか！　B$B$の要素はすべてf(x)$f(x)$の上界なんだから、確かにf(x0)$f(x_0)$はB$B$の最小値になるね。 f(x0)$f(x_0)$より小さい実数は上界になれない。つまりf(x0)$f(x_0)$より小さい実数は集合B$B$には存在しない」

テトラ「う、ううう。なるほど……お待ちください。でもf(x0)$f(x_0)$がB$B$の最小値になったらどうして矛盾なんですか。それは別におかしくはないですよね」

ミルカ「おかしい。なぜならいまは（２）を考えているから。こういう場合なんだろう？」

テトラ「あっ、そうでした。（２）ではB$B$に最小値がないという前提なんでしたっ！」

僕「だから、（２）もありえないのか……」

（３）A$A$に最大値がなく、B$B$に最小値がない場合

ミルカ「では次。（３）A$A$に最大値がなく、B$B$に最小値がない、ということはありえない」

テトラ「今度は、こういう場合ですね」

テトラ「これは、どうしてありえないんでしょうか」

ミルカ「なぜなら、それが実数というものだから」

テトラ「はあ？」

ミルカ「これはデデキントの公理だ。実数の連続性公理と呼ばれているものの一つ。(A,B)$(A,B)$がR$\mathbb{R}$の分割であるとき、A$A$に最大値がなく、B$B$に最小値がないということはありえない。 これがデデキントの公理。これ以上は理由をさかのぼれない」

テトラ「なぜでしょう。どうしてさかのぼれないんですか？」

ミルカ「もし（３）のような状況が起きるようなら、それはもう実数とは呼べないからだ。 実数の連続性公理は、実数が満たすべき公理の一つ」

テトラ「公理！」

僕「そうか、証明をさかのぼっていくと公理まで行き着けるんだ……」

ミルカ「4$4$通りのうちいずれかになるはずなのに、（１）（２）（３）はありえないことがここまででわかった。 残ったものは……」

僕「（４）A$A$に最大値がなく、B$B$に最小値がある……だね」

​

ミルカ「その通り。すなわち、集合B$B$には最小値が存在しなければならない。集合B$B$は上界全体の集合として定義した。これで最小上界の存在がいえた。 そして、これが私たちの証明すべきことだった。 証明終わり。これで、ひと仕事おしまいだ」

（第226回終わり、第227回へ続く）

舞台裏のメタ発言コーナー！

テトラ「今回はちょっと……かなり難しかったです」

ミルカ「そう？」

テトラ「あたりまえに思えることを証明するのは、難しいです。それから、 あたりまえのように思えることを証明しているうちに不安になってきます。 『これは証明しなくてはいけないことなのか、証明せずに使っていいことなのか』……と」

ミルカ「たとえば？」

テトラ「たとえば、a$a$とb$b$が実数のとき、a+b2$\frac{a+b}{2}$は実数になるのか、のようなことです」

ミルカ「それもまた、実数の公理から導かれることになる。たとえば杉浦光夫『解析入門Ⅰ』の冒頭では、 実数で成り立つ十七個の命題が挙げられており、 そこから実数の性質すべてが導かれる」

テトラ「十七個の命題……」

ミルカ「最初の十六個は『R$\mathbb{R}$は順序体である』とひとことにまとめられる。そして十七個目が連続性公理だ」

僕「証明の中で気になることがあるんだ。上界の存在証明では区間縮小法を使って、最小上界の存在証明ではデデキントの公理までさかのぼったよね。 この違いは何だろう」

ミルカ「実数の連続性公理は一つではない。同値な命題群がたくさんある。どれか一つを公理にすれば他は定理になる。 区間縮小法で実数が決まることも、実数の連続性公理の一つ。 たとえば赤攝也『実数論講義』 にはたくさんの連続性公理が挙げられている。 おもしろいことに、平均値の定理もまた実数の連続性公理の一つとして挙げられている」

僕「へえ……！」

参考文献

• 赤攝也『実数論講義［新版］』
• 杉浦光夫『解析入門 Ⅰ』
• 高木貞治『定本 解析概論』
• 志賀浩二『解析性—実数から複素数へ』

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