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１、球面x^2+y^2+Z^2=a^2のZ≥b（0<b<a）の部分の曲面積S ２、円錐面x^2+y^2=Z^2が...

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jqs********さん

2017/11/1102:03:18

１、球面x^2+y^2+Z^2=a^2のZ≥b（0<b<a）の部分の曲面積S
２、円錐面x^2+y^2=Z^2が円柱x^2+y^2≤2ax(a>0)で切り取られる部分の曲面積S

３、円柱面y^2+z^2=a^2のz≥0である部分の曲面積S

図と回答過程を教えていただきたい

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bib********さん

2017/11/1102:34:53

1.
z=√(a^{2}-x^{2}-y^{2})
z>=bなので、
x^{2}+y^{2}<=a^{2}-b^{2}を満たす。
D={(x, y)|x^{2}+y^{2}<=a^{2}-b^{2}}とおく。
∫∫_{D}√(1+(∂z/∂x)^{2}+(∂z/∂y)^{2}) dxdy
=∫∫_{D}a/√(a^{2}-x^{2}-y^{2}) dxdy
今、x=rcosθ, y=rsinθとおく。
dxdy=rdrdθ
0<=r<=√(a^{2}-b^{2}), 0<=θ<=2π
となるので、
∫∫_{D}a/√(a^{2}-x^{2}-y^{2}) dxdy
=a∫[0→2π](∫[0→√(a^{2}-b^{2})]r/√(a^{2}-r^{2}) rdr)dθ
(ご自分で計算してください。)
=2πa(a-b)


2.
z>0とする。z>0の部分の表面積を2倍すれば、求めたい表面積が得られる。
z=√(x^{2}+y^{2})
D={(x, y)|x^2+y^2≤2ax(a>0)}
={(x, y)|(x-a)^{2}+y^{2}<=a^{2}, a>0}
とおく。
すると、
∫∫_{D}√(1+(∂z/∂x)^{2}+(∂z/∂y)^{2}) dxdy
=√2∫∫_{D}dxdy
=√2×(Dの面積)
=√2πa^{2}

したがって、求める表面積は、2√2πa^{2}

3. は求まらないと思います。

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