ご質問の内容から「白い浮き」いわゆる「ボールタップ」の不良ではないと思われます。
”上げたら止まる”ということはボールタップはほぼ正常です。
下記図を参照して欲しいのですが タンクの下にある「ゴムフロート」の劣化によるものと思われます。
本来タンク内に水が溜まっている状態ではゴムフロートは排水管にピッタリ張り付き排水管（洗浄管）に
水が流れないようにしています。しかし経年によりゴムの弾力性が失われピッタリと張り付くことが出来ず
トイレ内に少しづつ水が流れる→タンク内の水が徐々に減りボールタップ動作→水が少しづつ補給される・・
のが質問主様のトイレの状態です。
ゴムフロートはホームセンター等で売っていますのでメーカー、型番確認して購入し交換してください。
作業はそれほど難しくありません。
http://image.search.yahoo.co.jp/search?rkf=2&ei=UTF-8&p=%E3%83%88%E...
【補足に対して】
ひょっとしてブルーレット様なものを使用していたのでしょうか？
私の家も同じでブルーレット系使用→チョロチョロ漏れ出す→ゴムを触るとドロ～（手が真っ黒）・・でした。
ゴムの劣化を早める、またはドローがゴムにへばりついているため
機密性が悪くなっているかもしれません。
で、私の家ではそれ以来、ブル－レット系は使用していません。
ほぼ間違いなくゴムフロート交換で治りますよ！