ABC予想

この記事ではABC予想とは何なのかを解説します。

根基

0$0$でない整数N$N$の根基rad(N)$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(N)$をN$N$の素因数の積として定義します。すなわち、

rad(N):=∏p∣Np${\displaystyle \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(N):=\prod _{p\mid N}p}$

です(p$p$は素数を表す)。ただし、rad(±1)=1$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(\pm 1)=1$とします。定義から根基は必ず無平方(square-free)です。

ABC$ABC$トリプル

自然数の三つ組(a,b,c)$(a,b,c)$(ただし、a<b<c$a<b<c$)がABCトリプルであるとは、a,b,c$a,b,c$が互いに素であって

a+b=c$a+b=c$

が成り立つときに言います(上記関係式から(a,b,c)$(a,b,c)$はどの二つをとっても互いに素であることがわかります)。ここで、次の問題を考えます：

ABCトリプル(a,b,c)$(a,b,c)$に対してc<rad(abc)$c<\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc)$ ―（＊）が成り立つか？

テキトーにABCトリプルを選ぶと結構成り立ちます。例えば、(8,17,25)$(8,17,25)$に対しては

25<rad(8⋅17⋅25)=170$25<\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(8\cdot 17\cdot 25)=170$

です。しかしながら、反例も見つかります。(1,8,9)$(1,8,9)$に対しては

9>rad(1⋅8⋅9)=6${\displaystyle 9>\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(1\cdot 8\cdot 9)=6}$

です。しかも、無数に反例があることが分かります：

例 n$n$を自然数とする。このとき、ABCトリプル(1,32n−1,32n)$(1,3^{2^n}-1,3^{2^n})$は不等式（＊）を満たさない。

証明. ord2(32n−1)≥n+2${\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_2(3^{2^n}-1)\ge n+2$が容易に確かめられるので（cf. 指数持ち上げ補題 - INTEGERS）、

rad(1⋅(32n−1)⋅32n)≤32n−12n+1⋅3<32n${\displaystyle \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(1\cdot (3^{2^n}-1)\cdot 3^{2^n})\le \frac{3^{2^n}-1}{2^{n+1}}\cdot 3<3^{2^n}}$

と評価できる。Q.E.D.

ABC予想の主張

任意に正の数ε>0$\epsilon >0$をとったとき、（＊）の代わりに

ABCトリプル(a,b,c)$(a,b,c)$に対してc<rad(abc)1+ε$c<\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc{)}^{1+\epsilon }$ ―(ε)$(\epsilon )$が成り立つか？

を考えると反例が有限個になるであろうという予想がABC予想です。

ABC予想 (Masser and Oesterle) ε>0$\epsilon >0$を任意にとる。このとき、

c<rad(abc)1+ε${\displaystyle c<\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc{)}^{1+\epsilon }}$

が有限個の例外を除くABCトリプル(a,b,c)$(a,b,c)$に対して成立する。

ABC予想は次のような形に言い換えられます：

ABC予想の同値形① ε>0$\epsilon >0$を任意にとる。このとき、ε$\epsilon$のみに依存する正定数Cε$C_{\epsilon }$が存在して、

c<Cεrad(abc)1+ε${\displaystyle c<C_{\epsilon }\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc{)}^{1+\epsilon }}$

が全てのABCトリプル(a,b,c)$(a,b,c)$に対して成立する。

応用上はこちらの方が取り扱いやすかったりします。

同値であることの証明. ABC予想⟹$⟹$同値形①は有限個の例外からCε$C_{\epsilon }$を定めればよいので明らか。逆を示す。ε>0$\epsilon >0$を任意にとったとき、ε>ε′>0$\epsilon >{\epsilon }^{\prime }>0$を満たすε′${\epsilon }^{\prime }$を取る。E$E$を(ε)$(\epsilon )$を満たさないようなABCトリプル全体のなす集合とする。E$E$が有限集合であることを示せばよい。E$E$の元(a,b,c)$(a,b,c)$を取ったとき、rad(abc)1+ε≤c$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc{)}^{1+\epsilon }\le c$が成り立つので、rad(abc)(1+ε)(1+ε′)≤c(1+ε′)$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc{)}^{(1+\epsilon )(1+{\epsilon }^{\prime })}\le c^{(1+{\epsilon }^{\prime })}$が得られる。一方、ε′${\epsilon }^{\prime }$に対する同値形①よりc<Cε′rad(abc)1+ε′$c<C_{{\epsilon }^{\prime }}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc{)}^{1+{\epsilon }^{\prime }}$が成り立つので、c1+ε<C1+εε′rad(abc)(1+ε)(1+ε′)$c^{1+\epsilon }<C_{{\epsilon }^{\prime }}^{1+\epsilon }\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc{)}^{(1+\epsilon )(1+{\epsilon }^{\prime })}$が得られる。合わせると、c1+ε<C1+εε′c1+ε′$c^{1+\epsilon }<C_{{\epsilon }^{\prime }}^{1+\epsilon }{c}^{1+{\epsilon }^{\prime }}$となって、cε−ε′<C1+εε′$c^{\epsilon -{\epsilon }^{\prime }}<C_{{\epsilon }^{\prime }}^{1+\epsilon }$なる評価が成り立つことがわかる。これを満たすようなc$c$は高々有限個しか存在しないため、E$E$も有限集合であることが従う。 Q.E.D.

また、対称形で表現されることもあります。これらが同値であることは明らかでしょう。

定義 整数の三つ組(a,b,c)$(a,b,c)$が対称ABCトリプルであるとは、a,b,c$a,b,c$が互いに素であって

a+b+c=0$a+b+c=0$

が成り立つときに言う（この記事のみの言葉遣いであることに注意）。

ABC予想の同値形② ε>0$\epsilon >0$を任意にとる。このとき、

max{|a|,|b|,|c|}<rad(abc)1+ε${\displaystyle max\{|a|,|b|,|c|\}<\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc{)}^{1+\epsilon }}$

が有限個の例外を除く対称ABCトリプル(a,b,c)$(a,b,c)$に対して成立する。

ABC予想の同値形③ ε>0$\epsilon >0$を任意にとる。このとき、ε$\epsilon$のみに依存する正定数C′ε$C_{\epsilon }^{\prime }$が存在して、

max{|a|,|b|,|c|}<C′εrad(abc)1+ε${\displaystyle max\{|a|,|b|,|c|\}<C_{\epsilon }^{\prime }\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc{)}^{1+\epsilon }}$

が全ての対称ABCトリプル(a,b,c)$(a,b,c)$に対して成立する。

ABCトリプルのクオリティ

ABCトリプル(a,b,c)$(a,b,c)$のクオリティを

q(a,b,c):=logclog(rad(abc))${\displaystyle q(a,b,c):=\frac{\log c}{\log (\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc))}}$

と定義します。このとき、ABC予想は次のように言い換えられます：

ABC予想の同値形④ 任意の正の数ε>0$\epsilon >0$に対して、q(a,b,c)≥1+ε$q(a,b,c)\ge 1+\epsilon$を満たすようなABCトリプルは有限個しか存在しない。

今までにサーチされたABCトリプルの中でのクオリティの大きさのベスト３は次のようになっています：

2+6436341=6435343$2+6436341=6435343$
q(2,310⋅​109,235)≒1.6299$q(2,3^{10}\cdot 109,{23}^5)\fallingdotseq 1.6299$

121+48234375=48234496$121+48234375=48234496$
q(112,32⋅​56⋅​73,221⋅​23)≒1.6260$q({11}^2,3^2\cdot 5^6\cdot 7^3,2^{21}\cdot 23)\fallingdotseq 1.6260$

24833+5020969537415167=502096953744000$24833+5020969537415167=502096953744000$
q(19⋅1307,7⋅​292⋅​318,28⋅322⋅​54)≒1.6235$q(19\cdot 1307,7\cdot {29}^2\cdot {31}^8,2^8\cdot 3^{22}\cdot 5^4)\fallingdotseq 1.6235$

このような数値的な証拠から、例えば次のような強い予想もなされています：

予想 任意のABCトリプル(a,b,c)$(a,b,c)$に対して不等式

c<rad(abc)2$c<\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc{)}^2$

が成り立つ。

Fermatの最終定理の導出

ABC予想を仮定すると様々な問題を解決できることが知られていますが、「Fermatの最終定理が有限個の例外を除いて成立する」といったことも証明できます。なお、前節最後に述べた予想を仮定すると、Fermatの最終定理を次のように導出することができます：

n$n$を3$3$以上の整数とする。自然数の組(a,b,c)$(a,b,c)$であって、an+bn=cn$a^n+b^n=c^n$を満たすようなものが存在したと仮定する。このとき、(an,bn,cn)$(a^n,b^n,c^n)$はABCトリプルであると仮定しても一般性を失わない。すると、前節最後に述べた予想が正しければ

cn<rad(anbncn)2=rad(abc)2≤(abc)2≤c6$c^n<\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(a^n{b}^n{c}^n{)}^2=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc{)}^2\le (abc{)}^2\le c^6$

と評価でき、n≤5$n\le 5$が従う。ところが、n=3,4,5$n=3,4,5$の場合のFermatの最終定理は別個に証明されている事実である。