図のように質量ｍの物体 が重力場の下で、速度に比例した抵抗ｋを受けながら運動している。座標軸は上向きを正とする。打ち上げてからｔ秒後の速度は、初速に重力による加速度が加わったものとなる。
このとき、下向きに重力-mg、運動方向と逆向きに空気抵抗-kv がが働くので次の運動方程式が成り立ちます.。 
第１項と第２項は運動方程式の定石で、力Fは質量mと加速度ａ の積であることを現していまあす。第３項のdv/dt は微少時間における速度の変化を現し、これが加速度ａ を生みます。４項が物体に働く具体的な力でありこれを変形したのが５項です。３項と５項を使い時間ｔ における速度ｖ とそのときの位置ｙ を求めます。
変数分離型微分方程式とするためにvを含む項をすべて左辺にまとめます。 
両辺をＶ 及びｔ で積分します。 左辺のこの形の積分は、ｅ を底とする対数で現せます。Ｃ は積分定数です。
左辺を真数にし右辺は指数現します。
t=0 における速度は、打ち上げ時の初速度v0ですのでこれを境界条件とし（１）式でｙ=y0、t=0 を代入してe^cを求めます。 
これを再び（１）式に代入して速度ｖが求まりました！！。
次に距離ｙをもとめます。
（２）式を再度積分することで求めることができます。
このときも積分定数ができますが、境界条件としてｔ＝0 におけるｙは、発射する位置の高さｙ0 としいます。
あ境界条件を（３）式に入れて求まった積分定数C を再び（３）式に 入れると、変位ｙ の式が求まります。
