はじめに,作成した図をお見せします。
作成の背景ですが,Twitter経由で以下のページを知りました。
質問文の誤記は,本人が訂正していますが,ベストアンサーのはじめにも,誤記があります。等分除はいいとして,「等含除(とうがんじょ)」は「包含除(ほうがんじょ)」のことです。
中身について,ベストアンサーの「分数の割り算は、等含除ではないと説明できません」というのは適切ではなく,1にあたる量を求める等分除でも,考えることができるし,長方形の面積と縦の長さから,横の長さを求めることも,可能なはずです。
分数のわり算というと,ジブリの映画で出現したと,記憶があります。検索すると,「おもひでぽろぽろ」でした。http://jbpress.ismedia.jp/articles/-/47340や,https://www.slideshare.net/ita3jp/ss-20478485で取り上げられています。映画から離れて,分数のわり算に対する,学校教育への批判を含んだ図解の例を,http://m-ac.jp/me/instruction/subjects/nq/rational_num/product_quotient/book/doc/product_quotient.pdfや,https://twitter.com/LimgTW/status/869994959255908353から始まる一連のツイートを通じて,読むこともできます。
さて,「分数のわり算は,なぜ,わる数をひっくり返してかけるのか」について,等分除や包含除を根拠にするのは,筋が悪いように感じています。等分除や包含除は,分数のわり算の式を考える際の対象です。言い換えると,わり算の等分除や包含除は,分数の場合にもあり得るよね,となります。
『算数教育指導用語辞典』に目を通すと,p.113では,分数の除法を数直線を用いて解説してました*1。
2つの数直線が連動しています(比例数直線,二重数直線などと呼ばれます)。その関係をもとに,÷という分数どうしのわり算を,÷3×4として「分数÷整数」と「分数×整数」に置き換えれば,計算できるのです。
ですがこれでは,「わる数をひっくり返してかける」こと,言い換えるとが陽に現れません。少し検討したところ,もう1本,数直線を取り入れることで,「×」を得ることができたのでした。
その結果,冒頭の画像を作ったのですが,また別の前提をいくつか書いておきます。この数直線について,かけ算・わり算の関係式を,以下のように表すことができます。
「a」や「b」は,右(または下)の数を左(または上)の数でわって求められます。また△▲□■のいずれかが「1」であれば,その記号と関連する「×a」や「×b」は,わり算を行う必要もありません。たとえば,△=1なら,a=□であり,△×□=■となります。
またこの図は,Vergnaud (1983, 1988)の関係表を背景にしています。実際,数直線のかわりに表で△▲□■を配置し,互いに何倍になるかを示すこともできます。二重数直線を使うのは,上のとおり『算数教育指導用語辞典』の図がきっかけとなったのに加え,当ブログ(移転・改称の前)とメインブログで,二重数直線を用いた小数のかけ算・わり算の図解を試みてきたからです(http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20140116/1389822669が起点となります)。「1の左か右に□があったら,割合の第1用法(包含除)」「1と□が“はすかい”になっていれば,割合の第2用法(かけ算)」「1の上に□があったら,割合の第3用法(等分除)」を,あとで使います。
わる数が「単位分数(分子=1)」「真分数(分子<分母)」「仮分数(分子>分母)*2」により,図は異なってきます。単位分数の場合,「×分母」のかけ算だけになります。本日の記事では,真分数を用いています。仮分数の場合は,いくつかの数値の左右の位置が変わりますが,演算については変更ありません。
といったところで,冒頭の図を再掲します。
問題文は「㎡のかべをdLでぬれるペンキがあります.1dLでは何㎡ぬれますか。」です。これは上記の書籍にはなく,分数の除法|算数用語集の文章題をもとに値を変更しました。
数直線は3つになりました(だから三重数直線です)。上の2本は,『算数教育指導用語辞典』の図と同じです。1の上に□があるので,「1にあたる量を求める等分除」と分かります。
ところで,上から2番目の数直線には,を最小単位として,目盛りが振られています。4はわる数の分子と同じです。のところから右に数えていくと,3番目の目盛りは,×3でで,わる数と一致します。4番目は×4=1です。
そこで3番目の数直線として,目盛りの位置は2番目と同じとし,最小単位をに変更します。一般には,わる数の分子の逆数を割り当てます。その数直線において,3番目の目盛りが×3=1となり,4番目は×4=なのですが,わる数の逆数となっています。
1番目と3番目の数直線のうち,「」「□」「1」「」に着目すると,□はかけ算で求めることができ,×=□です。「わる数をひっくり返してかける」ことで求められるのが分かりました。念のため,この計算の結果はで,答えは㎡です。
次に,包含除の分数のわり算を検討します。問題文は「mはmの何倍ですか。」としました。何倍にあたる量を求めるので,包含除です。
図を再掲します。
上の2本の数直線で,「」「」「□」「1」のところが,問題部を表した関係です。1の左に□があるので,包含除なのが確認できます。
ここではさらに右に,列そして目盛りを設けます。わる数のを4倍して,「3」すなわち分子だけにします。3行目の数直線として,3mを1とします。その数直線の,に対応する数は,未知数なので,とりあえず△とおきます。
すると,「」「3」「△」「1」の4つの数で,乗除算の関係をつくることができます。文章題にするなら,「mは3mの何倍ですか。」の答えが,△倍となります。
△は,÷3です。もちろん計算してとできますが,そのまま数直線上に書いておきます。
それから,「□」「1」「÷3」「」の4つの数で,乗除算の関係を見ます。「1」と「」は,下から上に矢印を作り,「を4倍したら1」と解釈できます。左端の列にも適用すると,「÷3を4倍したら□」であり,□=÷3×4です。
あとは計算により,を得ることができ,答えは倍です。
答えが出たものの,すっきりしません。というのも,この包含除の検討で,わる数の逆数にあたるが出現しないからです。
右上に「3」と書き,に対して「×4」としましたが,かわりに右上を「1」とすると,どうでしょうか。
を1にするには,何倍すればいいのかというと,の逆数,すなわち倍です。そして,2行目の対応するところ(上の図では空欄)にも,が書かれます。
そうすると,1行目と2行目の「」「1」「□」「」について,かけ算により□=×=×となり*3,「わる数をひっくり返してかける」を導き出せます。3行目の数直線も,使わなくて済みます。