頭脳王２０１５⑤　～月と地球が衝突～

2015-12-08 15:04:56

テーマ：: クイズ

まぁ、ありえない話ですが、こんな問題です。

これは、高校の物理Ⅱの問題ですね。
万有引力の法則を使う問題です。
この法則は、２つの物体に働く力（万有引力）は、質量の積に比例し、距離の２乗に反比例するというものです。
式で表すと、
万有引力　　　　；　 $F\left [ N \right ]$
物体間の距離　；　 $r\left [ m \right ]$
質量　　　　　　　；　 $M\left [ Kg \right ],m\left [ Kg \right ]$
万有引力定数　；　 $G\left [ m^{3}/Kg\cdot s^{2} \right ]$
とすると、
$F=G\frac{Mm}{r^{2}}$
となります。
で、地球表面に近い高さであれば、物体の位置エネルギーは、重力加速度gと質量mと高さhの積で表せますが、かなり離れた距離にある物体の位置エネルギーは、そうはいきません。
質量mの物体（今回は「月」）が、地球の中心からr0離れた位置から、r1離れた位置までに失う位置エネルギー（右辺）と、r1における物体の運動エネルギー（左辺）は等しいので、次の等式が成り立ちます。

$\frac{1}{2}mv^{2}=\int_{r_{0}}^{r_{1}}G\frac{Mm}{r^{2}}dr$
$\frac{1}{2}v^{2}=GM\left [ -\frac{1}{r} \right ]_{r_{0}}^{r_{1}}$
$v^{2}=2GM\left ( -\frac{1}{r_{1}} +\frac{1}{r_{0}}\right )$
$v=\sqrt{2GM\frac{r_{0}-r_{1}}{r_{0}r_{1}}}$
ここで、
$r_{0}=3.84\times 10^{8}$ （月が動き出す時の地球と月の中心間の距離）
$r_{1}=1.76\times 10^{6}+6.36\times 10^{6}=8.00\times 10^{6}$ （衝突した時の中心間の距離）
ですから、
$v=\sqrt{2\times 6.67\times 10^{-11}\times 5.97\times 10^{24}\frac{3.84\times 10^{8}-8.00\times 10^{6}}{3.84\times 10^{8}\times 8.00\times 10^{6}}}$
$v=\sqrt{80\times 10^{13}\frac{3.76\times 10^{8}}{30.7\times 10^{14}}}$
$v=\sqrt{97.9\times 10^{6}}$
$v=9.9\times 10^{3}$

これを時速に直して、（3.6を掛けて）
$3.6\times 10^{4}\left [ km/h \right ]$
となります。