曲げモーメントはP×距離ですが、

「曲げモーメントと言うのは曲げ剛性には関係しないのでしょうか。」

関係しないです。
たぶん、断面力(曲げモーメントなど)が分かってないのだと思います。

あなた：
「同じ外力でも断面積が違うと単位面積当たりの荷重は変わりますよね？
なのに曲げモーメントは単純に力×距離だけなのでしょうか。」

わたし：
二本の柱に同じ鉛直荷重をかけると、「断面積が違うと応力は変わり」ますね？
なのに、軸力は同じなのでしょうか？（同じですね、、、）

たぶん、いろいろなものをごっちゃに考えていて、整理(理解)ができてないのだと思います。最初は、それで当然だと思います。(私もそうでした)

さて、ここからが重要なの(と思ってるの)ですが、

断面力(曲げモーメントM、軸力N、せん断力S、ねじりモーメントT)とは何ですか？
現実の梁などの、どこにその力がありますか？
あるとすれば、どうやってそれを計測することができますか？

たぶん答えは「現実にはありません」「測ることはできません」でしょう。

あくまでも「力学」として考えるためのものです。
部材の中だけでなく現実に起こっていることは、もっと複雑で「まちまち」です。
それを容易に、統一的に捉え、「ある条件の中では正しいとみなすことができる」ように考えられたものです。

「断面力が部材軸に作用する」と考え
「断面力と断面性能により応力を計算」し
「断面力と曲げ剛性によりたわみを計算」する
そうすれば、概ね実際の現象に近い答えが得られる。

でも現実にはそんな手順を踏んで現象が起こってるわけではないですね。

ある条件(断面保持など)を満たさなければ適用もできませんね。
それでも、日常生活の中で非常に役立ってる考え方なのです。頑張って学びましょう。