こんにちは、ぬるぬるブロガーのボラセン（@BorasenBorasen）です。
突然ですが、
昔、小学校の頃に「トイレを謎に1個ずつ空ける」という謎の風潮ってありませんでしたか？？
例えば、トイレが4つあったとして、
ト ト ト ト
人 人
や、
ト ト ト ト
人 人
はOKだけど、
ト ト ト ト
人 人
はダメみたいな風潮、ありましたよね？笑
僕は昔から、これって無作為にやったらトイレ1個空けの法則が成り立つのはどれくらいの確率なんだろうっていうのが気になっていていました。
なので本日、全国6000万人の男子諸君に成り代わって僕が遂に計算することにしました。
本題に入る前に
今日のブログは至ってマジメな高校数学のお話です。決してふざけていません。至って、至って、マジメですよ。（フリ）
ちなみに、後半ではトイレの個数を無限にするのでお楽しみに。
条件を確認する
トイレにおける全部の事象
例えば、3個のトイレがあった場合、以下のように場合の数が存在する。
そこで、トイレに入ってくる人が全員修造だとしよう。修羅場である。
すると、以下のパターンが出てくる。
駅のトイレに入って⑧のような状況だったら絶望しかないが、とにかくこれだけのパターンが存在する。
つまり、全体の数は× or 修造の2パターンとなるため、
もしトイレが3ヶ所なら合計で
2×2×2=8 (通り)
もしnヶ所なら
2のn乗 (通り)
となる。
トイレ1個空けの法則が成立する場合
上の例で言えば、以下の場合に成立する。
上で言う①②③⑤⑥の5パターンでトイレ1個空けの原則が成立する。
求める確率
すると、3ヶ所の場合はトイレ1個空けの原則成立確率は
5 / 8 ＝ 62.5 %
ということがわかる。
これを7ヶ所で樹形図で書くとこうなる。
（ここで、「人」というのは修造の人数のことである）
これを表にする。
このように考えると、ある法則が一つ出る。
トイレの個数と修造の人数との関係
例えば、トイレが7ヶ所で修造が3人いたとする。
その時、1個空けの法則が成り立つには、下のように人のいないトイレを4つ作り、その間に修造をぶち込むことと同じだ。
余りのトイレの個数は7個 - 修造用トイレ3個 + 1（植木算的に）＝ 5
従って、修造は3人いるから、コンビネーションCを用いて
5C3 = 10 [パターン]
となる。
そう、これを修造の人数分計算して足せばトイレ1個空けの法則の式が出せる！
では、修造の人数が未知数だとしよう
恐ろしい話であるが、これはあくまで数学。マジメに読んでほしい。
トイレの個数をn個とし、修造の人数がm人だとする。
すると、色々と計算すると下のようになる。
数学嫌いな人にとっては意味がわからないだろが、
これをトイレの個数別グラフにするとこうなる。
この通り、トイレの個数があればあるほど、
僕らの大好きなトイレ1個空けの法則が成立しにくくなってしまう。
そして、数学好きならこれも考えたい。
このまま確率は0に収束するのか？
蛇足：トイレの個数を無限とする
トイレが無限にあるとする。
ちなみに、このとき修造も無限にいるとする。
（ここまで書いてきてあまりにバカバカしいと思い始めたので）
正確な議論はせず、ざっくりと考えてみよう。
コンビネーションには以下の法則がある。
これより、nを無限に飛ばす。偶数と奇数で結局同じような状況になるので、ここでは偶数のみで考える。すると、
これより、トイレを無限に並べ散らかすと
トイレ1個空けの法則は発生しなくなる。
これは悲しい。
だから、もしあなたが小学生の心を持つトイレ業者であれば、トイレは少なめに作ると良いだろう。修造だって有限だ。
本日のまとめ
どうでもいい。
あと、修造出したけど全然面白くない。
以上。
p.s.
【過去のゴミ記事】
p.p.s.
【過去のちゃんとした調査記事】