こんなに面白い現象があったのか！
簡単な四則演算で数の神秘を味わいながら、「1÷素数」が描き出す定理と法則を探訪する。初等整数論への新しいアプローチ!
ふしぎなふるまいを見せる6桁の数字
ここに、ふしぎなふるまいを見せる6桁の数字があります。「142857」という何気ない自然数が、単純なかけ算で、面白い現象を見せてくれるのです。
142857に、1、2、3、4、5、6を順にかけてみます。
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
この計算で、どのようなことが起こっているでしょうか。
それぞれの積には1、4、2、8、5、7の6つの数字しか出てきていません。かけ算をする順序を変えて、
142857 × 1 = 142857
142857 × 3 = 428571
142857 × 2 = 285714
142857 × 6 = 857142
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
と並べ替えてみましょう。鮮やかに規則性が浮かび上がります。
142857を順序を変えずに巡回させると6通りの数になりますが、その6通りの数がすべて現れています。この142857の正体は何でしょうか。そして、なぜこのようなことが起こるのでしょうか。
142857には、さらにふしぎなことがあります。こんどは、142857を142と857に2等分して足してみましょう。
142 + 857 = 999
と答えに9が並びます。
142857に、2、3、4、5、6をかけてできた数でも、同じ現象が起こります。
285 + 714 = 999
428 + 571 = 999
571 + 428 = 999
714 + 285 = 999
857 + 142 = 999
と、すべて和が 999 になっています。
なぜこのようなことが起こるのでしょうか。
こんどは、142857を14と28と57に3等分して足してみましょう。
14 + 28 + 57 = 99
と和に9が並びます。
さらに、142857を1、4、2、8、5、7に6等分して足してみましょう。9になるでしょうか。
1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27
となって、残念ながら9にはなりません。自然数を6個も足すのですから、9にならないのは自然なことかもしれません。しかし、この足し算をもう1回繰り返し、27の各位の数を足すと、
2 + 7 = 9
となります。142857の6等分も9に関係しています。
なぜこのようなことが起こるのでしょうか。
これらの疑問を出発点として、数のふしぎな世界を探求してみましょう。
1969年、広島県生まれ。大阪大学大学院理学研究科博士課程数学専攻単位取得退学。博士(理学)。専門は整数論。賢明女子学院中学校・高等学校の教諭を経て、現在、広島国際大学工学部住環境デザイン学科教授、広島大学非常勤講師。著書に『Liberal Arts 基礎数学』(京都廣川書店、青木宏光氏との共著)。
著者 清水健一（しみず・けんいち）
1948年、兵庫県生まれ。岡山大学理学部数学科卒業。博士(理学)。専門は整数論。賢明女子学院中学校・高等学校の教諭を経て、現在、岡山大学、岡山理科大学非常勤講師。著書に『大学入試問題で語る数論の世界』(講談社ブルーバックス)、『詩で語る数論の世界』（プレアデス出版）がある。
二人の共著による前著『素数が奏でる物語』(講談社ブルーバックス)も好評。