BusyBox に落ちてしまう原因は、インストール CD に何らかの問題があることが結構多いのですが、付録 CD ダメ、自分で焼いた 10.04 もダメ、ということだと、他の原因を考えなくてはいけませんね。
他に外付けの CD-ROM ドライブとかお持ちだと、CD 自体が問題なのかどうか切り分け出来るかもですが…。
自作 PC の譲り受けということで、原因の特定は些か厄介かも知れません。
パーツ固有の問題といったことも考えられますので、取り敢えず、M/B のメーカー、型番、それから、ドライブ、グラフィックスカードのメーカー、型番、等の情報もあると良いかもです。

petitbootang様
pc944様

さっそくの返信ありがとうございます。
とりあえず，今わかっているものを書きます。

光学ドライブ：PLEXTOR　PX-W1210TA
HDD：HITACHI Deskstar P7K500 0A35390 250GB
CPU： Pentium4

すいません。今知っている限りではこれだけです。
もっと詳しい必要があるようでしたら，譲ってくれた当人に聞くか，分解して確認します。

Alternate　CDを試してみます。

皆様，いろいろと助言ありがとうございます。

ただ残念ながらうまく起動できないようです。
まずAlternateCDですが，言語選択→キーボードの選択まで行きましたが，次で「インストールCDをマウントできませんでした」となります。どうやらCDを読み込んでくれないようですね。

カーネルオプションに追記しましたが，結局BusyBoxになりましたし，ファイルを確認したところ/dev/sr0はありましたが，コマンドを入力しても"No such file or directory"となります。

ここまでくると，なんとなくですがCDドライブ（かマザーボード）が原因のような気がします。どちらも少し古いもののようですし。あくまでも感じだけですが・・・

10.04 の iso を焼いたのは、そのマシンのドライブなんでしょうか？
ならば、ドライブ自体の故障とかではないですかね・・・。
私自身は遭遇したことがないのですが、まれに Ubuntu のインストール CD(インストーラ？) と、ドライブの相性が悪くてインストール出来ないケースがあるようです。
hmatsue さんの仰るように、その場合は Ubuntu 側のドライバの問題でしょうね。
可能であれば、fedora とか別のディストリビューションで試してみて、インストールがうまくいくようなら、その線が濃いかも知れません。
また、同じく hmatsue が書かれているように、USB からインストールする方法もありますので、まだあきらめないでくださいね。

アドレスは不明ですが、ネットワークインストールのisoがあったはずです。
有線LANが必要ですが、試してみてください。

素直に起動時のオプションでメディアチェックって話はなぜ無いんだろう。
10.04にもF6押したときに出た記憶があるけれど。

へたってきた光学ドライブは、外周が読めなくなっていきます。
CD-ROM>CD-R>CD-RWの順に読みにくくなり、容量が少ないCD-Rや、CD-ROMは読めても、ぎりぎりまで焼かれるほど読み込みにくくなっていったりもするので、メディアチェックでファイルを拾って確認が正常に終了するようなら一応しっぽまで読めていると言うことですし、途中で止まるのなら、その部分は読み込み自体に失敗しているという話になります。
焼いた端末とは別らしいので、別端末でもチェックを行い、該当端末のみで駄目なら、単に読めていないという話になるかと思います。
実際問題として、読み込むべきファイルシステムは結構しっぽの方までを必要とするので、死にかけのドライブではブートする程度の部分までは読めても後ろが読めず、システムを起こすところまでいかないという･･･実体験があります…orz

光学ドライブから逃げても構わないのですが、素直に買うって選択肢は無いんでしょうか？
普通の5インチのPATAですから、まともに買ってもそんなに高くはないでしょうし、とりあえず動けばいいのなら中古品でも構わないんじゃないかと。
ジャンクはともかく、店で売られている物は最低限のチェックは通っているはずなので、とりあえずの用は済むと思いますし、どちらにしろ光学ドライブはあった方が他のOSのインストールメディアや、バックアップ時の書き出し等でも使うと思うので、入れておくことに問題はないかと。

数時間無駄にするなら、漱石さんが二人くらいで済むならその方が安いと思いませんか？
ただ、ATAPI機器は少々癖があるので、変換ドングルと一緒にSATAのドライブを買うなら、中古でも良いから安くて動きそうなのを買ってきた方が目先のことだけを考えるなら安全な気はします。
方法論としては無くはないのですが…光学ドライブは入ってた方が、実利用でも便利なんじゃないかと思うのですがねぇ？
入れるまでしか使わない！とか、今後再インストールも無い！とか、明らかに不要である可能性が高いのなら止めはしませんが。

　ああ、何が漱石さんだ。今は野口さんだよなぁと、下らないことはさておいて、趣旨としては状況を切り分ける事が先って話です。
　メディアチェックは、読んだ物と、比較対象を比較しないといけないので、必然的に「読めているかの確認」にもなります。
　それで転けるなら読む対象がおかしいのですから、方法論としては他の手段に逃げるか、使えない物を交換するという事になります。
動作としても、システムを起動できるほどまではちゃんと読めない場合、起動できる辺りで止まるか、その前段階に落ちます。
　今回は、busyboxを起こす程度までは読めたという可能性があります。
　メディアの認識不良は基本的にソフトウェア的にどーなるものでもないんで、読めそうもなければどうにもなりません。
　もちろんこれらで、大丈夫そうだという判断ができるような挙動を示すのなら、オプションの指定など、他のアプローチを探ることになりますし、ドライブを買う必要も無いです。
　OSが入っているのなら、容量一杯入ってるCDなり、CD-Rなりからのファイル転送でも読めるかの確認はできると思いますが、とりあえず、外周まで読めるのか？は確認しないと、使えるかどうかが確認できません。

　とりあえず、駄目な物と大丈夫そうな物は何かを切り分けることが何かを進めるにしても望ましく、現状Windowsが入っているという明言も無いので、wubiでさくっとっという訳にいくとは限らないですし、読めないことが確定するのであれば、回り道するより、素直に障害を排除（読める物への交換）の方が、今後の管理コストも考えれば、安く付くのではないか？という話です。
　実際、HDDのシステムが壊れたら、光学メディアからのブートができれば、使える手段もそれがないのに比べればだいぶ違います。
　ちゃんと読めそうだという結果が出ればその限りではありません。
　行き当たりばったりに思いつくことを試すよりは、何ができて何ができなくて、何が必要で何が不要なのかを切り分けて、一番楽で、安い方へ進むのが良いのではないか？という話です。
　USBメモリを用意するんだったら、ドライブを下手すれば買えてしまう可能性もあるわけで･･･。

USB起動できないPCであれば、
plop boot manager USBで検索してみてください。
たいていこちらでUSB起動することができます。
これは、フロッピーにisoを焼いて使うこともできますので、
USB起動には最適だと思います。