身勝手な主張

　　算数教育に関わりのない人は「等分除」「包含除」といわれても何のことかわからない人が多いだろう。数学者も多くは
「等分除」「包含除」ということばを知らない人が多いらしい。小学生を教えたことのある私はことばだけは知っていたが、
どうでもいいと思っていたので意識して教えることはしなかった。別にそれでよかったし、今もそう思う。
　　しかし、「等分除」「包含除」ということばをインターネットの検索サイトで調べてみると、いっぱいひっかかる。検索に引っか
かった学習指導案を見ると、その多くは「わり算で、等分除と包含除の違いを理解させる」とか「等分除と包含除の違いはわ
り算では重要で、この区別がわかって初めてわり算が理解できたことになる」とかいうことを書いている。こうした指導案を
見る度に
　　
　　児童に無駄なことを教えるために、むだな時間を使っている

と思う。

　　以前にも書いたが、等分除・包含除という概念は、算数教育「学」が作ったもので、基礎数学ではないことばである。だから、
多くの数学者がこのことばを知らなくても不思議でない。
　　正の整数のわり算が初めて登場するのは、小学校３年生からである。等分除・包含除には、かけ算（小学校２年生で初めて登場
する）の順序が深く関わっている。３×４＝１２の式で
　　　　　
　　　　　３（ひとつ分）×４（いくつ）＝１２（全部）

のみが唯一正しい順序であり、この順に式を書いた場合のみ正しいと考える算数教育「学」独自の考え方から、次のように説明される。

　　　　等分除・・・・（乗法）□×４＝１２に対して□（ひとつ分）を求めるわり算→□＝１２÷４＝３
　　　　包含除・・・・（乗法）３×□＝１２に対して□（いくつ）　を求めるわり算→□＝１２÷３＝４

となる。３×４＝１２の式で３（ひとつ分）×４（いくつ）＝１２（全部）が唯一正しいと考えない私は、

　　　　わり算は、かけ算の逆演算であり、それに尽きる。わり算そのものに等分除と包含除の区別などない。

と考えている。算数教育「学」が作り上げた等分除と包含除という妖怪が、小学校の現場に広く流布している。そして、無駄な授業時間
を費やすのみならず、児童にどうでもいいことを教えようとしている。

　　『小学校学習指導要領解説　算数編』にも、責任がある。この本の編集協力者は、算数教育「学」で一応権威？をもっている人が
名を連ねている。ほぼ全部が算数教育「学」の主流派であり、かけ算の式は（ひとつ分）×（いくつ）＝（全部）と書くことが唯一正しい
と信じてやまない人々ばかりだから仕方がない。そして、その正しさの根拠を基礎数学に求めるあほらしい人もいる。
　　小学校学習指導要領は、小学校３年生で習うわり算について、次のように書いている。

第３学年の内容　A（４）除法
（４）除法の意味について理解し、それを用いることができるようにする。
　　ア　除法が用いられる場合について知ること。（略）
　　イ　除法と乗法や減法との関係について理解すること。
　　　　（略）
　　　　　　『小学校学習指導要領解説　算数編』P９５

　　私は、学習指導要領にある「わり算の意味」について、

　　　「わり算の意味」は、かけ算の逆演算であり、それに尽きる

と解する。次の『小学校学習指導要領解説　算数編』にあるような「等分除」「包含除」などということばは不要であり、こんなことは
知る必要がないと思う。
　　少し長くなるが、『小学校学習指導要領解説　算数編』の関連部分を載せておこう。


文科省『小学校学習指導要領解説　算数編』Ｐ95～Ｐ96

　　『小学校学習指導要領解説　算数編』は、「等分除」「包含除」の区別をした上で、イの４行目から「どちらも同じ式で表すこと
ができることがわかるようにする」と述べている。しかし、わり算には教材提示の違いはあれ、「等分除」「包含除」の区別などないわけだから、
これらの区別を強調する必要がない。『小学校学習指導要領解説　算数編』のこの部分の執筆者は、暗に正しいかけ算の順序があると
思っているのだろう。そうでなければ、「等分除」「包含除」など、説明する必要がない。提示として
「１２個のあめがあります。４人に同じように分けると、ひとりはいくつになるでしょう」
「１２個のあめがあります。３個ずつ分けると何人に分けられますか」
と示せばいい。上の２つの問題は、「等分除」「包含除」と呼ばなければならいほど重要な違いでない。『小学校学習指導要領解説　
算数編』にある記述が、多くの弊害を招いている。
　　たとえば、これによって小学校の算数授業では、指導案を見てわかることだが、多くが「等分除」「包含除」の区別の方に目が行っ
てしまっていて、その違いを強調するようなことが学習目標になっている場合が多い。大切なのは、「わり算はかけ算の逆演算である」ことである。


（注意）以前に書いたことをこちらにコピーして（重複するがあえて）、かけ算の順序についての私見を述べておこう。

２項演算の計算順序
　　２項演算　f：Ｍ×Ｍ→Ｍ　a,b∈Ｍ　　f(a,b)＝ab
のとき、aを先、ｂが後といったようにこの順に計算する。一般には、f(b,a)＝ba と等しくない。
　　小学校の２年生に出てくる１桁の自然数×１桁の自然数（いわゆる乗法の九九）も２項演算である。したがって、３×５は定義した段
階では５×３と違う。しかし、自然数の乗法（Ｎ，×）は結合法則も交換法則も成り立つ。したがって、f(a,b)＝f(b,a)、すなわち３×５＝
５×３の交換法則が成立する。さらに、交換法則と結合法則を用いると、３×４×５のような場合もかける順序に依存しないことが証明され
る。そして、そのことは容易に理解できることである。
　　この２項演算、３×５が必然的に（１つ分）×（いくつ）を意味しているわけでない。
当然のことながら、(いくつ）×（１つ分）をも意味しない。また、（１つ分）（いくつ）の意味を持たせる必要性もないとも言える。
　　　３×５に（１つ分）（いくつ）の意味を持たせた場合、私は次のように考える。
　　　掛け算の順序否定とは、３×５を（１つ分）×（いくつ）と決めたときに乗法の導入をこの方法で進めることは問題でないが、交換
法則が指導された後はいつまでもこの（１つ分）×（いくつ）にこだわる必要がないと言うことである。また、前述したように、算数教育
「学」者の主流派の多くが主張する「式の順序として（１つ分）×（いくつ）が唯一正しく、数学的な根拠がある」との主張は、誤っている。
数学的根拠などない。算数教育「学」の理論の中で、勝手に根拠づけているだけである。
　　したがって、（ひとつ分）×(いくつ）が唯一が正しいことを前提とした除法の等分序・包含除の区別が除法にとって大切なことでなくて、
そのような場面でもわり算を使うということの指導のほうが大切であると思う。また数学的にも、等分序・包含除の概念は、不要である。
　数学者松本幸夫氏が数学セミナーの今年２月号で指摘したとおりである。
　　念のために。

松本幸夫氏の「３×５vs５×３の問題」を読んで１　～かけ算の順序に意味があるか？
松本幸夫氏の「３×５vs５×３の問題」を読んで２　～等分除・包含除の区分の無意味さ


（追記）

１.昨日の一風景
　　昨日は、毎月一回通っている海津医師会病院へ午前中に向かった。直りそうにない持病であるから、仕方がない。血液検査・尿検査の
結果は、数値が７月の時よりも悪くなっていた。私は血圧はだいたい１２０前後で問題がないが、中性脂肪は減らしたい。

２．今日は大垣別院第１６組の門徒会研修会、組会・門徒会合同の総会そして懇親会
　　浄土真宗大谷派の大垣別院第１６組の門徒研修会が今日（３０日）午前１０時から、高須別院で行われる。昼食をはさんで、午後１時か
ら組会・門徒会総会、午後３時から大垣別院の所長巡回がおこなわれ、午後５時頃に終了する予定である。
　　一旦、家に戻ってから、送迎バスで隣町の養老町の料理屋で門徒会の懇親会が行われる会場に向かう。門徒会から補助があるので、会費
は２０００円と高くない。
　　夏休み最後の日曜日、終日高須別院に缶詰状態。夜は、酒席。・・・・・