吸引力
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この記事の目標は、プロジェクタイルがセットされていない空芯状態の加速コイルにおける中心軸(z軸)上での$B\frac{dB}{dz}$の分布を求めることである。
まず、下図のような半径$a$〔m〕のループ電流$I$〔A〕が作る磁束密度$B$〔T〕の中心軸上での強度分布を計算しよう。
円柱座標系を使う。ビオ・サバールの法則から
\begin{eqnarray}
\vm{H} &=& \frac{1}{4\pi}\int_{\rm{L}}^{}{\frac{\vm{I}\times\vm{r'}}{r'^3}dl} \nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}{I\vm{i}_\phi\times(-a\vm{i}_r+z\vm{i}_z)ad\phi} \nonumber \\
&=& \frac{Ia}{4\pi r'^3}\int_{0}^{2\pi}{(a\vm{i}_z+z\vm{i}_r)d\phi} \nonumber \\
&=& \frac{Ia^2}{4\pi r'^3}\vm{i}_z\int_{0}^{2\pi}{d\phi} \hspace{15pt} (\because \int_{0}^{2\pi}{\vm{i}_rd\phi} = \int_{0}^{2\pi}{(\vm{i}_x\cos{\phi}+\vm{i}_y\sin{\phi})d\phi} = 0) \nonumber \\
&=& \frac{Ia^2}{2r'^3}\vm{i}_z = \frac{Ia^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}}\vm{i}_z \nonumber \\
\therefore \vm{B} &=& \mu_0\vm{H} = \frac{\mu_0Ia^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}}\vm{i}_z \nonumber
\end{eqnarray}
高校物理で「半径$a$のループ電流$I$の中心の磁界の強さは$\frac{I}{2a}$」と習った記憶があると思う。これは上式の$z=0$における値なのである。
次に、下図のように上のループ電流をz方向に並べて1層コイルを形成した場合について$B$の中心軸上での分布を計算しよう。
単位長さ当たりの巻数を$n$〔turn/m〕、コイル長を$l$〔m〕とする。先程の結果から、$\zeta\leq z\leq\zeta+d\zeta$の微小範囲にあるループ電流が中心軸上の位置$z$に張る磁束密度$d\vm{B}$は
\[d\vm{B} = \frac{\mu_0In\;\;d\zeta\;\; a^2}{2\left[a^2+(z-\zeta)^2\right]^{3/2}}\vm{i}_z\]
であるので、コイルの電流全体が中心軸上の位置$z$に張る磁束密度は
\begin{eqnarray}
\vm{B} &=& \int_{コイル全体}^{}{d\vm{B}} \nonumber \\
&=& \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}{\frac{\mu_0In\;\;d\zeta\;\; a^2}{2\left[a^2+(z-\zeta)^2\right]^{3/2}}\vm{i}_z} \nonumber \\
&=& \frac{1}{2}\mu_0nIa^2\vm{i}_z\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}{\frac{d\zeta}{\left[a^2+(z-\zeta)^2\right]^{3/2}}} \nonumber \\
&=& \frac{1}{2}\mu_0nIa^2\vm{i}_z\left[\frac{\zeta-z}{a^2\sqrt{(\zeta-z)^2+a^2}}\right]_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \nonumber \\
&=& \frac{1}{2}\mu_0nI\left[\frac{z+\frac{l}{2}}{\sqrt{\left(z+\frac{l}{2}\right)+a^2}}-\frac{z-\frac{l}{2}}{\sqrt{\left(z-\frac{l}{2}\right)^2+a^2}}\right] \nonumber \\
&=& \frac{1}{2}\mu_0nI\left[\frac{z_+}{\sqrt{{z_+}^2+a^2}}-\frac{z_-}{\sqrt{{z_-}^2+a^2}}\right] \hspace{15pt} \left(z_+ := z+\frac{l}{2},\;\;\; z_- := z-\frac{l}{2}\right) \nonumber
\end{eqnarray}
これをzで微分すれば磁束密度勾配が求まる。
\begin{eqnarray}
\frac{d\vm{B}}{dz} &=& \frac{1}{2}\mu_0nI\left\{\frac{1}{{z_+}^2+a^2}\left[\sqrt{{z_+}^2+a^2}-z_+\frac{z_+}{\sqrt{{z_+}^2+a^2}}\right]-\frac{1}{{z_-}^2+a^2}\left[\sqrt{{z_-}^2+a^2}-z_-\frac{z_-}{\sqrt{{z_-}^2+a^2}}\right]\right\} \nonumber \\
&=& \frac{1}{2}\mu_0nI\left[\frac{1}{{z_+}^2+a^2}\times\frac{a^2}{\sqrt{{z_+}^2+a^2}}-\frac{1}{{z_-}^2+a^2}\times\frac{a^2}{\sqrt{{z_-}^2+a^2}}\right] \nonumber \\
&=& \frac{1}{2}\mu_0nIa^2\left[\frac{1}{({z_+}^2+a^2)^{3/2}}-\frac{1}{({z_-}^2+a^2)^{3/2}}\right] \nonumber
\end{eqnarray}
以上で$\vm{B}$と$\frac{d\vm{B}}{dz}$の理論式が求まった。次回はこれを具体的に計算してグラフを描いてみる。
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まず、下図のような半径$a$〔m〕のループ電流$I$〔A〕が作る磁束密度$B$〔T〕の中心軸上での強度分布を計算しよう。
\begin{eqnarray}
\vm{H} &=& \frac{1}{4\pi}\int_{\rm{L}}^{}{\frac{\vm{I}\times\vm{r'}}{r'^3}dl} \nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}{I\vm{i}_\phi\times(-a\vm{i}_r+z\vm{i}_z)ad\phi} \nonumber \\
&=& \frac{Ia}{4\pi r'^3}\int_{0}^{2\pi}{(a\vm{i}_z+z\vm{i}_r)d\phi} \nonumber \\
&=& \frac{Ia^2}{4\pi r'^3}\vm{i}_z\int_{0}^{2\pi}{d\phi} \hspace{15pt} (\because \int_{0}^{2\pi}{\vm{i}_rd\phi} = \int_{0}^{2\pi}{(\vm{i}_x\cos{\phi}+\vm{i}_y\sin{\phi})d\phi} = 0) \nonumber \\
&=& \frac{Ia^2}{2r'^3}\vm{i}_z = \frac{Ia^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}}\vm{i}_z \nonumber \\
\therefore \vm{B} &=& \mu_0\vm{H} = \frac{\mu_0Ia^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}}\vm{i}_z \nonumber
\end{eqnarray}
高校物理で「半径$a$のループ電流$I$の中心の磁界の強さは$\frac{I}{2a}$」と習った記憶があると思う。これは上式の$z=0$における値なのである。
次に、下図のように上のループ電流をz方向に並べて1層コイルを形成した場合について$B$の中心軸上での分布を計算しよう。
\[d\vm{B} = \frac{\mu_0In\;\;d\zeta\;\; a^2}{2\left[a^2+(z-\zeta)^2\right]^{3/2}}\vm{i}_z\]
であるので、コイルの電流全体が中心軸上の位置$z$に張る磁束密度は
\begin{eqnarray}
\vm{B} &=& \int_{コイル全体}^{}{d\vm{B}} \nonumber \\
&=& \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}{\frac{\mu_0In\;\;d\zeta\;\; a^2}{2\left[a^2+(z-\zeta)^2\right]^{3/2}}\vm{i}_z} \nonumber \\
&=& \frac{1}{2}\mu_0nIa^2\vm{i}_z\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}{\frac{d\zeta}{\left[a^2+(z-\zeta)^2\right]^{3/2}}} \nonumber \\
&=& \frac{1}{2}\mu_0nIa^2\vm{i}_z\left[\frac{\zeta-z}{a^2\sqrt{(\zeta-z)^2+a^2}}\right]_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \nonumber \\
&=& \frac{1}{2}\mu_0nI\left[\frac{z+\frac{l}{2}}{\sqrt{\left(z+\frac{l}{2}\right)+a^2}}-\frac{z-\frac{l}{2}}{\sqrt{\left(z-\frac{l}{2}\right)^2+a^2}}\right] \nonumber \\
&=& \frac{1}{2}\mu_0nI\left[\frac{z_+}{\sqrt{{z_+}^2+a^2}}-\frac{z_-}{\sqrt{{z_-}^2+a^2}}\right] \hspace{15pt} \left(z_+ := z+\frac{l}{2},\;\;\; z_- := z-\frac{l}{2}\right) \nonumber
\end{eqnarray}
これをzで微分すれば磁束密度勾配が求まる。
\begin{eqnarray}
\frac{d\vm{B}}{dz} &=& \frac{1}{2}\mu_0nI\left\{\frac{1}{{z_+}^2+a^2}\left[\sqrt{{z_+}^2+a^2}-z_+\frac{z_+}{\sqrt{{z_+}^2+a^2}}\right]-\frac{1}{{z_-}^2+a^2}\left[\sqrt{{z_-}^2+a^2}-z_-\frac{z_-}{\sqrt{{z_-}^2+a^2}}\right]\right\} \nonumber \\
&=& \frac{1}{2}\mu_0nI\left[\frac{1}{{z_+}^2+a^2}\times\frac{a^2}{\sqrt{{z_+}^2+a^2}}-\frac{1}{{z_-}^2+a^2}\times\frac{a^2}{\sqrt{{z_-}^2+a^2}}\right] \nonumber \\
&=& \frac{1}{2}\mu_0nIa^2\left[\frac{1}{({z_+}^2+a^2)^{3/2}}-\frac{1}{({z_-}^2+a^2)^{3/2}}\right] \nonumber
\end{eqnarray}
以上で$\vm{B}$と$\frac{d\vm{B}}{dz}$の理論式が求まった。次回はこれを具体的に計算してグラフを描いてみる。
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