0.999…が1と等しい事がわからん中学生がいる、っていう増田のエントリ[1]があって、
それに対してわっと氏が「等しいのは公理だから」って返答[2]している。
[1] http://anond.hatelabo.jp/20161024040352
[2] http://watto.hatenablog.com/entry/2016/10/25/133000
ちなみに私は[1]の増田とは別人。
わっと氏の主張のどこが間違っているか述べる前に、
じゃぁ、0.999…=1となる本当の理由は何か、というのを先に書いておく。
そもそもなんとなくごまかして「0.999…」と書くことで9が無限に続いている事を表現しているが、
実際には人間の有限の寿命で無限個の数字を書けるわけもない（ヒルベルトの「有限の立場」）。
なんで、実際には有限個数であるn個の9を書いて、そのnをどんどん大きくしているのである。
で、nを大きくするたびに、0.999…が1に近づくというのが、「0.999…=1」の正しい数学的意味である。
高校数学をわかってる人向けに書くと、ようするにnを無限大に飛ばしたときの極限を考えているわけ。
で、わっと氏の何が間違っているのか。
おめー、0.999…=1が実数体の公理だってんなら、有理数体や複素数体の上では「0.999…=1」は
成り立たないってのか！？
当然そんなわけない。
つまり実数体の公理の中でもっとも重要な公理であるデデキントの切断公理が満たされないケース（有理数体）や
順序の公理が満たされないケース（複素数体）でも「0.999…=1」は成り立っているわけで、
「0.999…=1は実数体の公理」という主張はおかしい（注）。
じゃぁ何が重要なのか。
答えは実数体の「距離構造」である（更に弱く「位相構造」でも良い）。
先に極限の話をしたとき、0.999…の桁数nを大きくすると、1に「近づく」って述べた。
「近づく」ってのは「距離が小さくなる」ってことなんで、距離が関係しているわけだ。
わっと氏が触れているε-N0式の極限の定義でも、
0.999…は1に近づくとは限らない。
d(x,y) = 0 if x=y
d(x,y) = 1 if x≠y
0.999…は1に収束しない。
（注）もちろん、実数に関する性質を導くには必ず実数の公理を使うわけだから、
そういう意味では「0.999…=1」の証明に実数の公理を使うことにはなるんだけど、
そんなこと言い出したら「πは超越数」とか「５次方程式は解の公式を持たない」とか
中学生「0.999999... = 1 に納得がいきません．なぜこれが成り立つんですか？」 先生「分数 1/3 を小数で表すと 0.333333... ですね．つまり， 1/3 = 0.333333... です．両辺を 3 倍すれば 1 = 0.999999......
0.999…が1と等しい事がわからん中学生がいる、っていう増田のエントリ[1]があって、 それに対してわっと氏が「等しいのは公理だから」って返答[2]している。 [1] http://anond.hatelabo.jp/201610...
2chのスカッとするコピペとか好きそう
かつて理系大学生、数学科学生だった教員なんて相当数いるのに、なんでそんな割合になるんだろ。現役大学生が書いたんだろうか。
教員の半分は文系なんやで。
さすがに「いかなる」となるとどの立場でも０％じゃないか？ テレビで見た未解決問題を先生に振ってみる生徒とかいてもおかしくないし。 自分は先生に振ったことはないが、中二病...
「強い想いは限界を超える。お前たちも自分の限界を感じたらこの話を思い出せ。お前たちの限界は、いつだって「0.9999...」なんだからな…」
こういう子どもが実在するとしたら、数学科に行くんだろうなあって思った ばりばりの理系っつーのかな 自分には全然理解できん世界だわ
有理数も無理数も無限にあるのに無理数のほうがいっぱいあるって意味がわかんないよ。
無限には濃度があって無限同士でも比較できるみたいな解説を誰かがしてくれる
1つの有理数のそばに必ず2つの無理数があるというイメージを思い浮かべたら、 無限個の有理数のそばには、その2倍の無理数があることにならないか？ そうしたら、無限個の有理数より...
だとしたら「偶数の隣には必ず奇数が2つあるから(奇数の数)>(偶数の数)」ってのも正しい?
だとしたら「偶数の隣には必ず奇数が2つあるから(奇数の数)＞(偶数の数)」ってのも正しい?
数学って数そのものについて研究すると、途端に難易度上がるのは何故なんだ。
この中学生にいくつか聞いてみたい。 0.99999..... - 0.33333.... は計算できますか？と。 つぎに、 1 - 0.33333.... は計算できますか？とも聞いてみよう。 この場合の 0.33333.... は...
0.999...が限りなく1に限りなく近い数字だから１と等しいという理解は、（おそらく）間違っています。
数学科の学生は小学校教員、中学校教員になれないの？
え、どういうこと
ムリして入ってこなくていいから
http://i.imgur.com/lW8vh3w.png 増田ってtex使えないじゃん
これさ、マジメに答えるとしたら 1. 一般の循環小数の定義を（無限級数で）与える 2. 上記の特殊な場合として0.333...を考える 3. |1/3-0.333...|が任意のε>0よりも小さくなることを示す で...
そこまでいくなら0.999...のまま極限の論理の意味を示せばいいのではないでしょうか。 まず、0.999...が1じゃない、とするならば、それは「1でない何か」の具体的な数である、というこ...
この生徒なら「ちょっと待ってください、0.999…って本当に数になるんですか？」と聞いてきて 単調収束定理の話をすることになり最終的に実数を定義する話になりそう
重要な点は最初に、0.99....が数であるとした時点で必ず1になること自体を納得させることだと思いますよ。 その上で、0.99....のようなものでも同種の数となるように作られたのが実数で...
先生最初に答え書いてるじゃない。 0.の後にずっと3が続く様子を表すって。 特定の実数を表記した物では無く 数を永遠に繰り返すプロセスを表記したんだから。 普通の数と同じ様に扱...
こまけぇこたぁいいんだよ！！
高校の数列の知識が必要だが、私は下記が一番納得できる。 0.99999...は初項0.9、等比0.1の無限等比級数とみなせる。 そのため、 ■等比が1より小さいときの無限等比級数の公式 a + ar + ar...
まっすぐな線路の上に立って遠くを眺める 2本の線が交わって見えてくる
0より大きく、1より小さい実数の集合Aを考えよう。 0.1も含まれる、0.33333..... も含まれる。でも1は含まれない。 数式で書くとこんな感じだ。 A={ x∈R , 1＞x＞0 } この集合Aには最大値も...