ちらしの裏

■[数学・院試]京大数学系

正定値実次対称行列と正の実数 について

を示せ。

（解答）

（左辺）（右辺）は自明。

とすると

は正定値実対称行列なのですべての固有値は正数。

より

すなわちは可逆。

故に

■[数学・院試]京大数学系

実数列がを満たすとする。

このとき、を示せ。

（解答）

に対して、

より

また、このに対して

のとき

より

よって題意が成立する。

■[数学・院試]京大数学系

上の有理型函数

を考える。

(1) の極をすべて求めよ。

(2) 実軸上の複素積分の値を求めよ。

（解答）

(1) は整函数なのでの解がの極となる。

(2) でのの留数は

とすると、留数定理より

よって

■[数学・院試]京大数学系

のベクトル に対して との内積をで表すことにする。 のとき

とおく。は の部分空間としてコンパクト集合であることを示せ。

（解答）

に対してとなるので、は有界。

とおく。

とすると

に対して

とおくと、 に対して、

となるので、 に対して

とすると、

よって、 を十分小さく取ると、 に対してとでき、このときとなる。

従って、 は閉集合であり、題意が成立する。

■[数学・院試]京大数学系

はで定義された級実数値函数で

を満たすとする。

(1) のとき は有限の値に収束することを示せ。

(2) に対して、

とおく。このとき

を示せ。

（解答）

(1) とおく。

より

このとき、

よって題意が成立する。

(2) とすると、

の集積点を とする。

(1)との連続性より

従って、

とできるので、

となり、矛盾。