ちらしの裏

2007-04-13

[]京大数理解析系

 ¥small a_1, ¥cdots , a_nは正の実数とする。このとき、 ¥small ¥mathbb{R}^n内の単位球面 ¥small x_1^2 + ¥cdots + x_n^2 = 1における、関数 ¥small a_1x_1^6 + ¥cdots + a_nx_n^6の最大値と最小値を求めよ。

(解答)

 ¥small x_1^2 + ¥cdots + x_n^2 = 1は閉多様体なので、関数 ¥small a_1x_1^6 + ¥cdots + a_nx_n^6はそれの内点で最大値と最小値を取り、従ってそれは極値である。

Lagrangeの未定乗数法を用いる。

 ¥small F(x_1, ¥cdots , x_n) = a_1x_1^6 + ¥cdots + a_nx_n^6 - ¥lambda(x_1^2 + ¥cdots + x_n^2 - 1)とおく。

¥small ¥frac{¥partial F}{¥partial x_i} = 6a_ix_i^5 - 2{¥lambda}x_i ¥; (i = 1, ¥cdots , n)なので、極値を取る ¥small (x_1 , ¥cdots , x_n)の候補は  ¥small (x_1^2 , ¥cdots , x_n^2) = ¥left(s_1¥sqrt{¥frac{¥lambda}{3a_1}}, ¥cdots , s_n¥sqrt{¥frac{¥lambda}{3a_n}}¥right)を満たす。ただし、 ¥small s_i = 0 ¥; ¥textrm{or} ¥; 1 ¥; (i = 1 ¥cdots , n)

 ¥small x_1^2 + ¥cdots + x_n^2 = 1より、 ¥small s_1¥sqrt{¥frac{¥lambda}{3a_1}} + ¥cdots + s_n¥sqrt{¥frac{¥lambda}{3a_n}} = 1

 ¥small ¥therefore ¥sqrt{¥lambda} = ¥frac{1}{¥frac{s_1}{¥sqrt{3a_1}} + ¥cdots + ¥frac{s_n}{¥sqrt{3a_n}}}

このとき

 ¥small a_1x_1^6 + ¥cdots + a_nx_n^6 = ¥frac{1}{¥left(¥frac{s_1}{¥sqrt{a_1}} + ¥cdots + ¥frac{s_n}{¥sqrt{a_n}}¥right)^2}

よって、最大値は ¥small ¥max(a_1, ¥cdots , a_n)、最小値は ¥small ¥frac{1}{¥left(¥frac{1}{¥sqrt{a_1}} + ¥cdots + ¥frac{1}{¥sqrt{a_n}}¥right)^2}

ふぇじょーーーあwwwwふぇじょーーーあwwww 2009/06/13 16:33
これヤった後でパチ屋に行ったら勝率上がりすぎwwwwww

http://shiofuki.navi-y.net/TLur6iw/

ただの軍資金稼ぎのつもりでヤってたんだけど、
パチも負けねーもんだから金が余りまくりっす・・(^^;
まー金は余っても困らないからまだ続けるけどねーヽ( ・∀・)ノ
とりあえずBMWでも買うわwwwwwww

しゅおおぁあああ!!!!!しゅおおぁあああ!!!!! 2009/06/20 15:22
あっもう!ちょ!!!凄い!!!凄いよ!!!!!
あぁぁテンション上がりすぎて何から言えばいいかわかんねwww
勃.起おさまんねーし今からもっかい行ってくるwwwwwww

http://ahan.yumenokuni.net/3NTC2sx/

いよっしゃーーっ!!!!いよっしゃーーっ!!!! 2009/06/20 20:46
これ始めたら女釣れすぎーw ww
いつもテ〃リ嬢に金払ってたのがバカみてぇ。。
だってヤる度に金くれんだもんヽ(´ー`)ノ
ぶっちゃけ風俗は卒業ッス(´ー`)y─┛~~

http://dopyun.quitblue.com/vx5dgfT/

セックヌは戦いなんですぅwwwセックヌは戦いなんですぅwww 2009/07/10 00:12
はぁ・・思い出す度にオッキくなっちゃうから一日中下半身大変だよwww
ローションべっとべとに塗られて玉舐め手コキされるって初だったんだが
予想以上に気持ちよすぎて瞬殺されちゃったwwwwww
てか意外に素股も気持ちよかったし!! 明日は僕が瞬殺してやるもんねw

http://UeaPCXY.meshiuma.tsukimisou.net/

うぇwwうぇっうぇwwwwwwwうぇwwうぇっうぇwwwwwww 2009/07/27 03:53
ドーユーリメンバー?私アルパカに似てるタケシねwwwwwww
んぉふーww 雑誌に載ってたのやってみたらコスプレ姫の魔法のフィラチオにハマっちゃって思考回路がフィラチオ中心になってるぉwwwwww
てか気持ちよくしてもらってんのに何で5万貰えんの? カオスwwwww

http://netoge.bolar.net/h6DJMcq/

試してみたお!試してみたお! 2009/08/06 08:01
オッス!ニートの桜井だよ!いやいや毎度毎度!!!!!
ここで釣った女でコンニャクオナと生マヌコのどっちが気持ちいいか試したお!!
えとうん・・・問答無用で生マヌコの勝ちだわwwwwwwwwwww
てかハメさせてくれた女子が当たり前のように10万くれたんだけど何でー???

http://ene.creampie2.net/ll4bOct/

ぎょはぁ!!!!!ぎょはぁ!!!!! 2009/08/10 12:56
ヘイヘイ!!あひひひほはぁwwwwwww ちょwwいきなりごめwwwwww
寝てるだけで5 万もらっちゃって真面目な自分がヴァカらしくなってさwwwww
はぁーいま女シャワー浴びてんだけど、もう1ラウンドでまた5 万くれるってYO!wwwwww
またマグロでさっさと中 出 しするわwwwwwwwww

http://kachi.strowcrue.net/5n0elJR/

自由だーーーー!!!!!!自由だーーーー!!!!!! 2009/08/17 04:42
セ ク っ て 稼 げ るなら旅したついでにヤる事にしたんだけど、これウメェわwww
女の家に泊まるから宿代いらないし、旅先で稼げるから財布もイラねーwwww

とりあえず女の子と約束して、家に泊めてもらって、ハ メ て、諭 吉ゲットwww
楽勝すぎてすげぇ笑えるwwwww
儲 か る旅って最高ーーーwwwwwww

http://yuzo.plusnote.net/bvfDwQT/

くっちゃいの!くっちゃいの! 2009/08/23 14:50
3日お風呂入らずに来て!!って言われたから
我慢してその通りにしたんだが、行為を始めた途端に
チ ン カ スだらけの俺のテ ィ ン コを咥えてキレイにしてくれたわwwww

とりあえずされるがままでフィニッシュしたんだが、
ボーナス付けるとかイミフな事言われて8 万ゲットしたよ(^^;ラッキー♪

http://okane.d-viking.com/uSi60Jr/

ちょwwwwこれわwwwwwちょwwwwこれわwwwww 2009/08/28 04:12
ここまで簡単なバ イ トって他に無ぇだろwwwwwww
ち ん こさえあればおkだもんなwwwwwwwww
女にち ん こ見せただけでも大喜びだし、
挿入してやったらもうキャンキャン言いまくりwwwwwwwww

ぶっちゃけここまで気持ちよく稼げるとは思ってなかったわぁ(>_<)

http://koro.chuebrarin.com/L3QxPHA/

2007-04-07

[]京大数理解析系

 ¥small f(x,y)=(x+y)^2+y として、以下の問に答えよ。

(i)  ¥small f ¥small ¥mathbb{Z}_{¥geq 0} ¥times ¥mathbb{Z}_{¥geq 0}から ¥small ¥mathbb{Z}_{¥geq 0}への単射を与えることを示せ。

(ii)  ¥small f ¥small ¥mathbb{Q}_{¥geq 0} ¥times ¥mathbb{Q}_{¥geq 0}から ¥small ¥mathbb{Q}_{¥geq 0}への写像として単射でないことを示せ。

ただし、 ¥small ¥mathbb{Z}_{¥geq 0} は非負整数の集合を、また ¥small ¥mathbb{Q}_{¥geq 0} は非負有理数の集合を表す。

(解答)

(i)  ¥small (x+y)^2+x = aとする。

 ¥small x + y = Xとおくと、 ¥small X^2 + X -y = a

また ¥small 0 ¥leq y ¥leq Xとなるので、 ¥small 0 ¥leq X^2 + X - a ¥leq X

これより ¥small -¥frac{1}{2} + ¥sqrt{a} < X ¥leq ¥sqrt{a}を得る。

この不等式を満たす整数 ¥small Xは高々一つなので、 ¥small f単射となる。

(ii)  ¥small (0 + 1)^2 + 0 = (0.19 + 0.71)^2 + 0.19

2007-04-06

[]京大数理解析系

 ¥small Vは実 ¥small 2n次元線形空間 ¥small W_1, W_2, W_3 ¥small Vの実 ¥small n次元線形部分空間とし、

 ¥small W_1 ¥cap W_2 = W_1 ¥cap W_3 = W_2 ¥cap W_3 = ¥{0¥}

と仮定する。このとき、次の条件ア)、イ)、ウ)をみたす ¥small Vの基底 ¥small e_1, ¥cdots , e_n, f_1, ¥cdots , f_nが存在することを示せ。

ア) ¥small e_1, ¥cdots , e_n ¥small W_1の基底

イ) ¥small f_1, ¥cdots , f_n ¥small W_2の基底

ウ) ¥small e_1 + f_1, ¥cdots , e_n + f_n ¥small W_3の基底

(解答)

 ¥small V = W_1 ¥oplus W_2なので、 ¥small W_1, W_2の基底をそれぞれ ¥small <e_1’ , ¥cdots , e_n’> ¥small <f_1’ , ¥cdots , f_n’>とすると、 ¥small <e_1’ , ¥cdots , e_n’ , f_1’ , ¥cdots , f_n’> ¥small Vの基底。

このとき ¥small W_3の基底を

 ¥small w_1 = e_1’a_{11} + ¥cdots + e_n’a_{n1} + f_1’b_{11} + ¥cdots + f_n’b_{n1}

 ¥small ¥cdots

 ¥small w_n = e_1’a_{1n} + ¥cdots + e_n’a_{nn} + f_1’b_{1n} + ¥cdots + f_n’b_{nn}

 ¥small (a_{ij}, b_{ij} ¥in ¥mathbb{R})

とし、

 ¥small e_k = e_1’a_{1k} + ¥cdots + e_n’a_{nk}

 ¥small f_k = f_1’b_{1k} + ¥cdots + f_n’b_{nk}

 ¥small (k = 1 , ¥cdots , n)

とする。すなわち、 ¥small w_k = e_k + f_k

 ¥small e_1 , ¥cdots , e_nが一次独立でないとすると、

 ¥small (c_1 , ¥cdots , c_n) ¥ne (0 , ¥cdots , 0) が存在して  ¥small e_1c_1 + ¥cdots + e_nc_n = 0

このとき

 ¥small w_1c_1 + ¥cdots + w_nc_n = f_1c_1 + ¥cdots + f_nc_n ¥in W_2

 ¥small W_2 ¥cap W_3 = ¥{0¥} より ¥small w_1c_1 + ¥cdots + w_nc_n = 0

これは ¥small w_1 , ¥cdots , w_nが一次独立であることに反する。

よって ¥small e_1 , ¥cdots , e_nは一次独立であり、 ¥small W_1の基底となる。

 ¥small f_1 , ¥cdots , f_nも同様。

2007-04-05

[]京大数理解析系

 ¥small f(x) ¥small [0,¥infty)上の実数値連続関数とする。有限な極限  ¥small ¥lim_{x ¥rightarrow ¥infty}f(x)が存在するとき、

 ¥lim_{x ¥rightarrow ¥infty}¥int_0^xe^{y-x}f(y)dy = ¥lim_{x ¥rightarrow ¥infty}f(x)

であることを示せ。

(解答)

 ¥small ¥lim_{x ¥rightarrow ¥infty}f(x) = ¥alpha < ¥inftyとおくと

 ¥small ¥forall¥varepsilon > 0, ¥; ¥exists x_0 ¥geq 0, ¥; x > x_0 ¥Rightarrow ¥alpha - ¥varepsilon < f(x) < ¥alpha + ¥varepsilon

このとき、 ¥small M = ¥int_0^{x_0}e^yf(y)dyとおくと

 ¥small M + (¥alpha - ¥varepsilon)(e^x - e^{x_0}) < ¥int_0^x e^yf(y)dy < M + (¥alpha + ¥varepsilon)(e^x - e^{x_0})

ゆえに

 ¥small Me^{-x} + (¥alpha - ¥varepsilon)(1 - e^{x_0-x}) < e^{-x}¥int_0^x e^yf(y)dy < Me^{-x} + (¥alpha + ¥varepsilon)(1 - e^{x_0-x})

辺々で ¥small x について極限をとると

 ¥small ¥alpha - ¥varepsilon ¥leq ¥lim_{x ¥rightarrow ¥infty}e^{-x}¥int_0^x e^yf(y)dy < ¥alpha + ¥varepsilon

 ¥small ¥therefore ¥lim_{x ¥rightarrow ¥infty}e^{-x}¥int_0^x e^yf(y)dy = ¥alpha

2007-03-28

[]京大数理解析系

積分 ¥int_0^{2¥pi}e^{¥cos¥theta}¥cos(¥sin¥theta)d¥theta を計算せよ。

(解答)

  ¥cos(¥sin¥theta) = ¥frac{1}{2}(e^{i¥sin¥theta}+e^{-i¥sin¥theta})より

 ¥begin{align}  ¥int_0^{2¥pi}e^{¥cos¥theta}¥cos(¥sin¥theta)d¥theta &= ¥int_0^{2¥pi}¥frac{1}{2}(e^{¥cos¥theta + i¥sin¥theta}+e^{¥cos¥theta -i¥sin¥theta})d¥theta¥¥ &= ¥int_0^{2¥pi}e^{¥cos¥theta + i¥sin¥theta}d¥theta¥¥ &= ¥int_{|z|=1} ¥; ¥frac{e^z}{iz} ¥; dz¥¥ &= 2¥pi¥end{align}