今日の寿司

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中身が気になる御歳頃。

はじめに

最近運気が悪く、悪夢も良くみるようになったので、これは邪気を払う必要がある。なので、そういうのに使えそうなものと言えば何か考えたら、魔方陣ではないか、ということを考えていた。

昔の夢は何だったか思い出すと、科学者か魔法使いになりたかった思い出があり、極まったプログラマというのはWizardと呼ばれる。さすがに、自分がそのレベルに達しているとは思えないが、どうせだし、魔法陣くらいは作れるようになりたいと思ったので、今回のエントリを書く。以下、『魔方陣の世界』という参考書(エントリの最後に記述する)を元に書く。

魔方陣とはなにか

とはいえ、魔方陣とは何かについて、最初に書いておかないといけない。魔方陣とは、1から始まる連続した異なる自然数を碁盤の目状に並べて、それぞれの列、それぞれの行、そして対角線の数の和が一緒であるものを指す。具体的には、下のような形となる。

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|14|25|08|16|02|
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|03|11|22|09|20|
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|17|04|15|23|06|
----------------
|10|18|01|12|24|
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|21|07|19|05|13|
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このような、5x5(以下「5次の魔方陣」と呼ぶ)は、その特性上、各和が65となる。試しに適当に抜きだしてみると、8 + 22 + 15 + 1 + 19は30 + 15 + 20とでき、合計が65になることが確認できる。

一般的に、n次の魔方陣の定和(つまり、それぞれの行や列の総和)は $\frac{n(n^{2} + 1)}{2}$ という公式で導き出すことができる。5次の場合、5 * (25 + 1) / 2 = 130 / 2 = 65となる。これは1 + 2 + 3 .. nの総和を出す公式が $\frac{n(n+1)}{2}$ であることから由来している。これがもし「7次の魔方陣」であるならば、総和は175ということになる。7桁の魔方陣であるならば、次のようになる。

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|27|33|10|49|18|36|02|
----------------------
|07|25|29|09|48|19|38|
----------------------
|37|06|26|31|14|46|15|
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|17|42|04|22|30|13|47|
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|43|16|41|05|24|35|11|
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|12|45|21|39|01|23|34|
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|32|08|44|20|40|03|28|
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6桁の魔方陣が1600京以上(!!)あると言われていることから、当然のことながら、7桁の魔方陣も、それに匹敵する数存在していることは間違いない。しかし、その作りかたは、考え方さえわかってしまえば、至って簡単である。

二つの補助魔方陣を作る

まず、7次の魔方陣を作るさいに、7進法の考え方をする。例えば、8であるならば10、9であるならば11、といったように、7で位が上がる数のことを指す。

この時に、2の桁と1の桁を分離する。そして、1から7までの数を利用して、列同士では数は被っても良いので、定和性を満す魔方陣を作る(この場合ならば、1から7なので、28となる)。具体的にプログラミングで出力すると、次のような補助魔方陣である。

[4, 7, 6, 1, 5, 3, 2]
[2, 4, 7, 6, 1, 5, 3]
[3, 2, 4, 7, 6, 1, 5]
[5, 3, 2, 4, 7, 6, 1]
[1, 5, 3, 2, 4, 7, 6]
[6, 1, 5, 3, 2, 4, 7]
[7, 6, 1, 5, 3, 2, 4]

このとき、生成を簡単にするために、あるトリックを使っているのだが、それはとりあえずあとまわしにしよう。そして、もう一つの補助魔方陣を用意する。

[4, 6, 2, 1, 7, 3, 5]
[1, 7, 3, 5, 4, 6, 2]
[5, 4, 6, 2, 1, 7, 3]
[2, 1, 7, 3, 5, 4, 6]
[3, 5, 4, 6, 2, 1, 7]
[6, 2, 1, 7, 3, 5, 4]
[7, 3, 5, 4, 6, 2, 1]

まず魔方陣の最初の特性として、「同じ数を二度使わないことである」が挙げられる。とすると、この時、この二つの補助魔方陣を組みあわせた場合、同じ組みあわせである場合、それは同じ数であるわけだから、魔方陣としては成立していない。なので、補助魔方陣のお互いの要件の第一条件として、組みあわせたときに、「同じ数の組みあわせは二度あらわれない」となる。

利用する補助魔方陣の性質

ここからは、ちょっとややこしい話も含まれるので、コードを見せながら解説する。

まず補助魔方陣の一つ目の特徴だが、まず左上からスタートする対角線上に(n + 1) / 2(この場合のnは「n次の魔方陣」のn)を引いたあと、それ以外の数はシャッフルしても良い。7の場合は4なので、4が対角線上に配置されていれば良い。

class Mahou

  DIMENSION = 7

  def self.simple_a
    seed = [*1..DIMENSION]
    delete_elem = (DIMENSION + 1) / 2
    seed.delete(delete_elem)
    seed.shuffle!
    seed.insert(delete_elem - 1, delete_elem)
    a = Array.new(DIMENSION) { seed.clone }
    r = delete_elem
    0.upto(DIMENSION - 1) do |x|
      r -= 1
      a[x].rotate!(r)
      r = DIMENSION - 1 if r < 0
    end
    return a
  end
end

さて、もう一つの補助魔方陣を作る必要があるのだが、ちょっと困ったことがある。それは法則上、nが3の倍数の時は違う法則性を持つ。従って、今回はnが3以外の倍数であるときのことを考える。

考え方としては簡単で、1からnまでの数字をまず適当に並べる。そのあと、対角線と並べた数字とは逆に、縦に並べていく。解りにくいだろうので、1から5の間の数字で説明すると、次のようになる。

[1, 3, 5, 2, 4]
[5, 2, 4, 1, 3]
[4, 1, 3, 5, 2]
[3, 5, 2, 4, 1]
[2, 4, 1, 3, 5]

縦方向に着目してもらえればわかるように、1の次は5,5の次は4というように、対角線に並べられた数字とは逆の数字が配置されている。同様に、2列目も、2の次は1, 1の次は循環して5……というように並べられている。これをコードにすると、やや泥臭いが次のようになる。

  def self.simple_b
    b = Array.new(DIMENSION) { Array.new(DIMENSION) }
    raw_seed = [*1..DIMENSION].shuffle
    0.upto(DIMENSION - 1) { |i| b[i][i] = raw_seed[i] }
    seed = raw_seed.reverse * DIMENSION

    0.upto(DIMENSION - 1) do |x|
      point = seed.index(raw_seed[x])
      start = x
      1.upto(DIMENSION) do |y|
        b[start][x] = seed[point]
        point += 1
        start += 1
        start = 0 if start >= b.size
      end
    end
    return b
  end

組みあわせる

組みあわせるのは非常に簡単だ。2次元配列なので、入れ子状にしてあげればよい

  def self.format_print m
    l = "---" * DIMENSION + "-"
    puts l
    m.each do |n|
      n.each do |e|
        print "|"
        printf "%02d", e
      end
      puts "|"
      puts l
    end
  end

  def self.simple
    a = simple_a
    b = simple_b
    m = Array.new(DIMENSION) { Array.new (DIMENSION) }
    a.each_with_index do |i, j|
      i.each_with_index do |k, n|
        m[j][n] = (k - 1) * DIMENSION + b[j][n]
      end
    end
    format_print m
  end

aは7進法の二桁目、 bは一桁目をさしている。ただし、二桁目に関しては、0である場合もあることを考慮しなければならない。なので、実際の計算には一度1を引いてやる必要がある。また、上記では考慮していないが、魔方陣に必要なのは、「それぞれの列、行、対角線の総和が一緒であること」なので、それをチェックするメソッドもあったほうがいいだろう。

  def self.column_check a, b
    0.upto(DIMENSION - 1) do |i|
      sum = 0
      0.upto(DIMENSION - 1) do |j|
        sum += a[j][i]
      end
      raise "縦の行: #{j + 1} が #{sum} なので定和性を満しません" if sum != b
    end

    0.upto(DIMENSION - 1) do |i|
      sum = a[i].inject(:+)
      raise "横の行: #{i + 1} が #{sum} なので定和性を満しません" if sum != b
    end

    sum = 0
    0.upto(DIMENSION - 1) do |i|
      sum += a[i][i]
    end
    raise "左上からの対角線が #{sum} なので定和性を満しません" if sum != b

    sum = 0
    0.upto(DIMENSION - 1) do |i|
      sum += a[i][DIMENSION - 1 - i]
    end
    raise "右上からの対角線が #{sum} なので定和性を満しません" if sum != b
  end