うちの息子が卓球部に入っています。聞くとラケットの大きさは 自由だといいます...

逆にすごく小さな１ミクロンのラケットを
手に持っているんだといって、
素手でやってみてはどうでしょう？
今どっちの手に持っているのかわかりにくいため、
ラケットを持ち替える必要もなく両手でできますし、
そもそもラケットを買う必要さえありません。
自動的に二刀流です。

日本卓球ルールでは「ラケット本体は平坦で硬いこと」「ＪＴＴＡＡ（日本卓球協会公認）の刻印およびメーカー刻印が必要」となっています。ですからこの条件に叶っているのならどんな大きさのラケットでも大丈夫だと思います。

二刀流はダメだと思いますが持ち替えることは可能です。先日の試合で急に持ち替えてスマッシュ打ってきたのでびっくりしました。一応その試合には勝ちましたが。

(ラケット・ラバー)
第5条 ラケットの大きさ、形状、重さは任意とする。ただしラケット本体は平坦で堅い木製（85％以上が天然の木）とする。
2 ラケットの打球面には、表ソフトのサンドイッチラバーが握りの部分を除くラケット全面いっぱいに貼られていなければならない。
3 ラケットの縁にテープを貼る場合には、ラバーの外側まではみ出ないように貼るものとする。
4 ラケットの両面を規定のラバーで覆う場合には、それぞれの打球面は、明らかに異なる色にしなければならない。

二刀流は反則です。

”遊び”ならありかもしれませんが、「スポーツ」で行うのでしょうから、ルールに則って行った方がいいでしょうね・・・。
やはり、「来た玉を打ち返す」事のできる大きさが限度ではないでしょうか？
大きさではないですが、形は「中国式ペン（だったかな？）」・「ペン」・「シェイク（打つ面が裏表2箇所）」の3種類だと思いますが、各地に専門店があります（東京なら高田馬場）ので、そちらで聞いてみてください。
大体「シェイク」でも1万円位あれば良いのが買えますよ。