眠みソート

春鹿「....出来た」

春兎「何が」

春鹿「全ての偶完全数の1桁目は6か8であることの証明が」

春兎「お,おう.姉さんしばらくPrologにハマってたのに何でまた突然」

春鹿「気晴らしさ.まぁ読めよ」


定理: 全ての偶完全数の1桁目は6か8である.

偶完全数の素因数分解はnを自然数として(2^(n-1))(2^n - 1)の形に限られ,また2^n - 1は素数である(Eulerによる).
2^n - 1が素数になるには,nは素数でなければならない.(∵2^(ab) − 1 = (2^a − 1){1 + 2^a + 2^(2a) + ... + 2^((b−1)a)})
n=2とすると,(2^(2-1))(2^2-1)=6となり,命題は成立している.
以降,nが奇数であると仮定する.
mを自然数,nを10m+(1桁の自然数)の形に書くとすると,10m+1,10m+3,10m+7,10m+9の形に限られる.
さらに,m=0の場合,nは1か3か7か9であるが,そのうち3か7のみが素数である.

n=3の場合
(2^(n-1))(2^n - 1)=(2^(3-1))(2^3 - 1)=28

n=7の場合
(2^(n-1))(2^n - 1)=(2^(7-1))(2^7 - 1)=8128

上記の場合は,命題は成立している.以下では,mが0でない場合について書く.

n=10m+1の場合
(2^(n-1))(2^n - 1)=
(2^(10m+1-1))(2^(10m+1) - 1)=(2^(10m))(2^(10m+1) - 1)
=(1024^m)(2*1024^m - 1)
さて,1024^mの1桁目について考える.
1024の1桁目は4なので,1024は2乗すると1桁目は6になる.6に4をかけると1桁目は4である.
以上のことから,1024^mの1桁目は必ず4か6であることが分かる.
1024^mの1桁目が4である場合,
(1024^m)(2*1024^m - 1)は1桁目は8になる.
1024^mの1桁目が6である場合,
(1024^m)(2*1024^m - 1)は1桁目は6になる.
よって,n=10m+1のとき命題は成立する.

n=10m+3,10m+7,10m+9のいずれも上記の同様の方法で証明できる.
Q.E.D.


春兎「うわぁ,泥臭い計算だなー」
春鹿「そんなもんでしょ.まぁ奇完全数は存在性を含めて今後の課題ということで」

元素記号しりとりProlog暫定版.
探索遅くてｸｿofｸｿ.
次はもうちょっと工夫してやるね.


last(L, X) :- append(_, [X], L).
first([X|_], X).
cons(A,B,[A|B]).

%elem([h]).
elem([h,e]).
elem([l,i]).
elem([b,e]).
elem([b]).
elem([c]).
elem([n]).
elem([o]).
elem([f]).
elem([n,e]).
elem([n,a]).
elem([m,g]).
elem([a,l]).
elem([s,i]).
elem([p]).
elem([s]).
elem([c,l]).
elem([a,r]).
elem([k]).
elem([c,a]).
elem([s,c]).
elem([t,i]).
elem([v]).
elem([c,r]).
elem([m,n]).
elem([f,e]).
elem([c,o]).
elem([n,i]).
elem([c,u]).
elem([z,n]).
elem([g,a]).
elem([g,e]).
elem([a,s]).
elem([s,e]).
elem([b,r]).
elem([k,r]).
elem([r,b]).
elem([s,r]).
elem([y]).
elem([z,r]).
elem([n,b]).
elem([m,o]).
elem([t,c]).
elem([r,u]).
elem([r,h]).
elem([p,d]).
elem([a,g]).
elem([c,d]).
elem([i,n]).
elem([s,n]).
elem([s,b]).
elem([t,e]).
elem([i]).
elem([x,e]).
elem([c,s]).
elem([b,a]).
elem([l,a]).
elem([c,e]).
elem([p,r]).
elem([n,d]).
elem([p,m]).
elem([s,m]).
elem([e,u]).
elem([g,d]).
elem([t,b]).
elem([d,y]).
elem([h,o]).
elem([e,r]).
elem([t,m]).
elem([y,b]).
elem([l,u]).
elem([h,f]).
elem([t,a]).
elem([w]).
elem([r,e]).
elem([o,s]).
elem([i,r]).
elem([p,t]).
elem([a,u]).
elem([h,g]).
elem([t,l]).
elem([p,b]).
elem([b,i]).
elem([p,o]).
elem([a,t]).
elem([r,n]).
elem([f,r]).
elem([r,a]).
elem([a,c]).
elem([t,h]).
elem([p,a]).
elem([u]).
elem([n,p]).
elem([p,u]).
elem([a,m]).
elem([c,m]).
elem([b,k]).
elem([c,f]).
elem([e,s]).
elem([f,m]).
elem([m,d]).
elem([n,o]).
elem([l,r]).
elem([r,f]).
elem([d,b]).
elem([s,g]).
elem([b,h]).
elem([h,s]).
elem([m,t]).
elem([d,s]).
elem([r,g]).
elem([c,n]).
elem([f,l]).
elem([l,v]).


siri([X,[]],Used,Counter,Parent,Under):-elem(X),not(member(X,Used)),Counter >= Under,write(Counter),nl,cons(X,Parent,Y),reverse(Y,Z),write(Z).
siri([X|Y],Used,Counter,Parent,Under):-
elem(X),
not(member(X,Used)),
cons(X,Used,NewUsed),
last(X,T),
first(Y,U),
first(U,T),
Newcounter is Counter+1,
cons(X,Parent,Z),
siri(Y,NewUsed,Newcounter,Z,Under).

search(X,Under):-siri(X,[],1,[],Under).

お久しぶりでーす。徒然なるままになんとなく上記のお題で記事を書いてみました。

さて、θを媒介変数にしてx=(cosθ)^4,y=(sinθ)^4を描くわけですが、
これを描けない人は恐らくsinとかcosとかって何？な可能性が高い。
ってことで、今日は上記の概形を描くことを目標にsinとcosのお勉強をしてみましょう。

sinとは？
cosとは？
は、おおよそ次の一枚の絵で説明が終わるんじゃないかなと思います。
↓



言葉にすると、
sinθってのは、半径1の円を描いて中心から角度θの線を引いてやって円と交わった場所の縦座標
cosθってのは、半径1の円を描いて中心から角度θの線を引いてやって円と交わった場所の横座標


言葉だと分かりにくいから具体例を見てみましょう。


これが「sinとcosって何ぞ」です。

さて、ここまで分かればθを適当に動かして点を打っていくだけです。
ってことで、おまけとしてθに対応するsinとcosで私が覚えているのをいくつか与えておきます。
そしてx=(cosθ)^4,y=(sinθ)^4に突っ込んでみます。
まぁここは適当に流し読みでもおｋですー。

θ=0
sinθ=sin0=0
cosθ=cos0=1
x=(cosθ)^4=(cos0)^4=1
y=(sinθ)^4,=(sin0)^4=0

θ=π/6
sinθ=sinπ/6=1/2
cosθ=cosπ/6=√3/2
x=(cosθ)^4=(cosπ/6)^4=9/16
y=(sinθ)^4,=(sinπ/6)^4=1/16

θ=π/4
sinθ=sinπ/4=1/√2
cosθ=cosπ/4=1/√2
x=(cosθ)^4=(cosπ/4)^4=1/4
y=(sinθ)^4,=(sinπ/4)^4=1/4

θ=π/4
sinθ=sinπ/4=1/√2
cosθ=cosπ/4=1/√2
x=(cosθ)^4=(cosπ/4)^4=1/4
y=(sinθ)^4,=(sinπ/4)^4=1/4

θ=π/3
sinθ=sinπ/3=√3/2
cosθ=cosπ/3=1/2
x=(cosθ)^4=(cosπ/3)^4=1/16
y=(sinθ)^4,=(sinπ/3)^4=9/16

θ=3π/4
sinθ=sin3π/4=1/√2
cosθ=cos3π/4=-1/√2
x=(cosθ)^4=(cos3π/4)^4=1/4
y=(sinθ)^4,=(sin3π/4)^4=1/4

θ=2π/3
sinθ=sin2π/3=√3/2
cosθ=cos2π/3=-1/2
x=(cosθ)^4=(cos2π/3)^4=1/16
y=(sinθ)^4,=(sin2π/3)^4=9/16

θ=5π/6
sinθ=sin5π/6=1/2
cosθ=cos5π/6=-√3/2
x=(cosθ)^4=(cos5π/6)^4=9/16
y=(sinθ)^4,=(sin5π/6)^4=1/16

θ=π
sinθ=sinπ=0
cosθ=cosπ=-1
x=(cosθ)^4=(cosπ)^4=1
y=(sinθ)^4,=(sinπ)^4=0

θ=7π/6
sinθ=sin7π/6=-1/2
cosθ=cos7π/6=-√3/2
x=(cosθ)^4=(cos7π/6)^4=9/16
y=(sinθ)^4,=(sin7π/6)^4=1/16

θ=4π/3
sinθ=sin4π/3=-√3/2
cosθ=cos4π/3=-1/2
x=(cosθ)^4=(cos4π/3)^4=1/16
y=(sinθ)^4,=(sin4π/3)^4=9/16

θ=5π/4
sinθ=sin5π/4=-1/√2
cosθ=cos5π/4=-1/√2
x=(cosθ)^4=(cos5π/4)^4=1/4
y=(sinθ)^4,=(sin5π/4)^4=1/4

θ=3π/2
sinθ=sin3π/2=-1
cosθ=cos3π/2=0
x=(cosθ)^4=(cos3π/2)^4=0
y=(sinθ)^4,=(sin3π/2)^4=1

θ=7π/4
sinθ=sin7π/4=-1/√2
cosθ=cos7π/4=1/√2
x=(cosθ)^4=(cos7π/4)^4=1/4
y=(sinθ)^4,=(sin7π/4)^4=1/4

θ=11π/6
sinθ=sin11π/6=-1/2
cosθ=cos11π/6=√3/2
x=(cosθ)^4=(cos11π/6)^4=9/16
y=(sinθ)^4,=(sin11π/6)^4=1/16

θ=2π
sinθ=sin2π=0
cosθ=cos2π=1
x=(cosθ)^4=(cos2π)^4=1
y=(sinθ)^4,=(sin2π)^4=0


ふう、疲れた。
んでもって、↑に挙げた点を全部打つと


す、少ねぇ！！
まぁ仕方ないですねー。同じ点が多くなってしまったので。
そしてそれをそれっぽく曲線でつなぐと



完成！

春鹿「ドン詰まりだなぁ」

春兎「また数学？」

春鹿「そりゃもちろん。アニメの円盤よりもお金かからないし、ペンと紙があればできるし」

春兎「でも姉貴、アニメの円盤も買ってるしコミケも行ってるよね。結果的に普通よりお金（ｒｙ」

春鹿「うっ・・・」

春兎「まぁいいや。で、何についてやってたの？」

春鹿「完全数よ」

春兎「完全数とは」


春鹿------------「

完全数とは、「約数の和が元の数の2倍に等しい数」のこと
例えば、

6の約数は1と2と3と6
それを全部足すと
1+2+3+6=12=6*2

28の約数は1と2と4と7と14と28
それを全部足すと
1+2+4+7+14+28=56=28*2

さて、こんな数はいくつか見つかっている。
今のところ一番大きいモノに至っては

(2^57,885,160)(2^57,885,161-1)
なんていう、頭のおかしいレベルね

」------------


春兎「そんなデカい数、どうやって探したの！？」

春鹿「もちろん、コンピュータよ」

春兎「そりゃそっか・・・」

春鹿「でも、19年もの歳月をかけて77桁の完全数をコンピュータを使わずに手計算で見つけた変態さんもいるのよ」

春兎「うわあ、執念の勝利だね」

春鹿「ところがどっこい、未だに奇数の完全数は見つかっていない」

春兎「それがあるかどうか、考えてたんだ？」

春鹿「そ。でも今日は疲れたからもう寝る。ノートまとめて今月中にあげておきたいなぁ」

暗記カードを作ることにした。
大学の外国語科目でスペイン語を取っているのだが・・・
活用が頭おかしい。

例えば。
動詞「ir」は主に日本語の「行く」を意味するわけだが。

原形（不定形）スペイン語→「ir」


【直接法】
・現在
(私) voy
(君) vas
(彼・彼女・あなた) va
(私たち) vamos
(君たち) vais
(彼ら・彼女ら・あなたら) van

・点過去（英語で言う過去形？）
(私) fui
(君) fuiste
(彼・彼女・あなた) fue
(私たち) fuimos
(君たち) fuisteis
(彼ら・彼女ら・あなたら) fueron

・線過去（過去完了形？？）
(私) iba
(君) ibas
(彼・彼女・あなた) iba
(私たち) íbamos
(君たち) ibais
(彼ら・彼女ら・あなたら) iban

え？原形ってirだよね？

………その他諸々・辞書で引くと、この倍ほどの活用形がある模様。
でも楽しいスペイン語。
Vamos a estudiar!!