解決済 htmlの改行タグを<br>ではなくて<br />と書くのはどうしてでしょう？

HTML は当初、SGML で作られました。
しかし、SGML は自由度が高すぎたため逆に実装が難しく（特に当時の非力なコンピューターでは）、
HTMLを唯一の例外として、あまり普及しませんでした。
(ブラウザ等の HTMLの実装は、SGMLとしての解釈はせず、HTMLの仕様決め打ちの解釈で実装することで、SGMLのむずかしさを回避していました。ただし、このことがブラウザ間の非互換性の元にもなりました。)

そこで、SGML の仕様を見直して、自由度を下げる代わりに、
仕様を簡便にして実装しやすくしたものが XML です（ですので、XML は SGML と別のものではなく、SGMLの「サブセット」として規定されています。SGMLを処理できるプログラムでは XMLも扱えます（逆はできません）。）。
「自由度を下げる」ことの代表的なものが、開始タグと終了タグがペアになっていなければならない。
というルールです。
このルールを導入することで、これを扱うプログラムでは、
閉じるのか閉じないのかわからないタグを扱うために次々と予備の変数を用意して待たせておくといったような
処理をしなくてよくなりました。
SGML では HTML に見られるように単独のタグを定義することもできました。

その後、「XMLとして扱える HTMLを作ろう」という試みが行われるようになり、
その中で既に定着している <br> などの単独タグをどうするかが問題になりました。
単独タグを許すと、XML のメリットである実装のしやすさが失われてしまいます。
しかし、使い慣れた <br> が使えなくなるのも問題です、
そこで一つの妥協として <br /> という記法が考案されたのです。
上記の記法を使えば、単独タグであっても終了タグの登場に備えなくてもいいため、
従来の XML の処理をそれほど大きく変えなくても扱うことができます。

というのが私の理解している流れですが、どうも CPU パワーの増大等で
XML が当初意図した「実装のしやすさ」の問題があまり重要でなくなったこと、
逆に(以前はツール等の進化により減っていくと考えられていた)
HTML を直接書くということが、さまざまな理由により「増えていく」という現象が
進んだため、<br /> については「無理に押し付けられた面倒な記法」という認識の方が
主流になってしまっているようです。

<br />となっているのはXHTMLの記述構文です。

<br>とか<img>のように閉じタグが無い要素を空（から）要素と呼ぶのですが、
XHTML記述構文の場合には空要素は必ず /> のようにスラッシュが必要となります。
従って、DOCTYPEが XHTMl1.0とかXHTML1.1などの場合には、
全ての空要素がスラッシュ付きで記述しなければなりません。

なおDOCTYPEがHTML5の文書であっても<br />のような記述が見られることがありますが、
HTML5の場合はHTMLの構文もXHTMLの構文も両方許されますので、文法的には間違いではないです。
ほんの数年前までは、マークアップ言語の主流はXHTMl1.0でしたので、その名残で
今でも<br />という記述が散見されるものと思われます。

<br />の意味に関してはすでに他の人の回答で解決していると思われるので、補足になりますが。。。
XMLを書くときに<a></a>のようなボディが空の要素は<a />のように記述できますが、HTMLとは違って<a>だと構文解析エラーになります。HTMLだけを書いている場合には問題にはならないかもしれませんが、このルールを知らずにXMLを書くと、エラーに悩まされることになってしまいます。なので、エンジニア初心者の人には、HTMLを書く場合でも常に空ボディのタグは<br />のように後ろのスラッシュを書く癖を付けているほうがよいと伝えています。XMLパーサーの出すエラーメッセージは初心者の人にはわかりにくいものが多いので、余計なエラー探しの手間がかからなくて済みます。