Xcodeのバージョン：7.1
Swiftのバージョン：2.1
方法
ランダムな数値を生成した後、
その数値の場所の文字列を取得すれば、
おのずとランダムな文字列が生成できます。
Swift 2以降は、
advancedBy(n)
を使って任意の場所の文字列を取得できます。
注意点
上述した通り、
letter[letter.startIndex.advancedBy(randNum)]
のように、
文字列の変数[]
で囲まないと正常に動作しませんでした。
具体的に言うと、advancedBy(n) の「n」に入った数値をそのまま出力してしまいました。
何か僕がミスってるのかもしれないですが、
同じような状況に陥った方は上記の方法を試してみてください。