微分係数の多変数関数バージョンであるヤコビ行列，およびヤコビアンについて解説します。具体例として，二次元，三次元極座標変換の場合にヤコビアンを求めてみます。
ヤコビ行列，ヤコビアンの定義
〜状況設定〜
- $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{\top}$を決めると$\overrightarrow{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_m)^{\top}$が定まる状況（$n$変数関数が$m$個あると考えてもよい，$n$変数の$m$次元ベクトル値関数と考えてもよい）
- 各$y_i$は$x_j$で偏微分可能
〜ヤコビ行列の定義〜
$\dfrac{\partial y_i}{\partial x_j}$を$ij$成分とする$m\times n$行列$J$をヤコビ行列と言います。
例えば$i=j=2$のとき，ヤコビ行列は$J=\begin{pmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\frac{\partial y_1}{\partial x_2}\\\frac{\partial y_2}{\partial x_1}&\frac{\partial y_2}{\partial x_2}\end{pmatrix}$です。
〜ヤコビアンの定義〜
ヤコビ行列の行列式をヤコビ行列式，またはヤコビアンと言います。ヤコビアンは変換の「拡大率」を表す重要な量です。
ヤコビ行列の意味
一変数の場合，微分係数は関数の一次近似（の接線の傾き）という意味がありました（一次近似の意味とよく使う近似公式一覧）：
$y(x)\simeq y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$
多変数の場合，接線の傾きに相当するのがヤコビ行列です：
$\overrightarrow{y}(\overrightarrow{x})\simeq\overrightarrow{y}(\overrightarrow{x_0})+J(\overrightarrow{x_0})(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0})$
以下，実際にヤコビ行列の計算に慣れるために例を二つ解説します。
例1．二次元極座標
二次元極座標$(r,\theta)$から直交座標$(x,y)$への変数変換を考えます。二変数関数二つ組なのでヤコビ行列のサイズは2×2です。
変換式は$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$です。変換式をそれぞれ偏微分するとヤコビ行列が求まります：
$\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial \theta}\\\frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial \theta}\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}$
ヤコビアンは，$\cos\theta(r\cos\theta)-\sin\theta(-r\sin\theta)$$=r$
重積分の変数変換の文脈では$dxdy=rdrd\theta$と表記することもあります。
例2．三次元極座標
三次元極座標$(r,\theta,\phi)$から直交座標$(x,y,z)$への変数変換を考えます。三変数関数三つ組なのでヤコビ行列のサイズは3×3です。→三次元極座標についての基本的な知識
変換式は$x=r\sin\theta\cos\phi,y=r\sin\theta\sin\phi,z=r\cos\theta$です。変換式をそれぞれ偏微分するとヤコビ行列が求まります：
$\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial \theta}&\frac{\partial x}{\partial \phi}\\\frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial \theta}&\frac{\partial y}{\partial \phi}\\\frac{\partial z}{\partial r}&\frac{\partial z}{\partial \theta}&\frac{\partial z}{\partial \phi}\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}\sin\theta\cos\phi&r\cos\theta\cos\phi&-r\sin\theta\sin\phi\\\sin\theta\sin\phi&r\cos\theta\sin\phi&r\sin\theta\cos\phi\\\cos\theta&-r\sin\theta&0\end{pmatrix}$
ヤコビアンは（3×3の行列式を頑張って計算すると）$r^2\sin\theta$となります。
重積分の変数変換の文脈では$dxdydz=r^2\sin\theta drd\theta d\phi$と表記することもあります。