破産の確率

<問題> 勝つと a 円もらえ、負けると b 円失う賭がある。勝つ確率を P とする。
あなたは、現在、n 円持っている。
この賭を際限なく繰り返すとき、破産する（所持金が０以下になる）確率はいくらか。
【注】 最後に借金が残る場合もありえます。たとえば、a＝15、b＝10、n＝10 のとき、
「勝ち（25円） → 負け（15円） → 負け（5円） → 負け（-5円）」
となれば、5円の借金をかかえて破産です。

P≦b/(a + b) のときは、「１回あたりの期待値≦０」 なので、やるだけ無駄です。
この場合、破産の確率は 「１」 。つまり、際限なくやっていれば必ず破産します。

そこで、以下では P＞b/(a + b) とします。

a＝b で、n/b が整数の場合、破産の確率が次のようになることは、簡単に導けます（高校数学レベル）。

n/b が整数でない場合は、上の公式で n/b の端数を切り上げて計算すればいいです。
例をあげておきます。

Ａさんは、資金 200万円で株をやっている。トレード１回ごとの勝率は 60％で、勝つときは 10万円儲け、負けるときは 10万円損をする。Ａさんの破産の確率はいくらか。
これは、a＝b＝10、n＝200、P＝0.6 とした状況と同じです。
よって、破産の確率は、次のようになります。
およそ 0.03％ですから、破産はなさそうですね。

もっとも、これには修正が必要かも知れません。たとえば、負けが続いて残金が 10万円になっても、まだ破産していない以上、株を続けると想定しています。しかし、10万円で買える株などなかなかないでしょう。

そこで、残金が 55万円以下になったら破産（ゲームオーバーと言う方が適切だけど）と考えることにします。
145万負けたら破産ということなので、a＝b＝10、n＝145、P＝0.6 と同じことです。
この場合の破産の確率は、次のように計算できます。n/b＝14.5 ですが、端数を切り上げ、15として計算します。
およそ 0.23％ですか …。まあ、大丈夫でしょ。

というわけで、a＝b の場合は簡単です。そうでないときは、どうするのか？

a と b が異なる整数の場合、数式は書き出せるのですが、高次方程式の解（それも複素数の解）を求める必要があり、実用的でありません。
簡単な近似式がないものかと少し考えてみたのですが、わかりませんでした。

そこで近所の図書館へ行き、『確率論とその応用』 という本（Ｗ・フェラー著、確率論の名著らしいです）を借りてパラパラ見てみると …。
ありました！！　さすがに名著といわれるだけのことはあります（笑）

フェラーの本に出ている式に少し手を加えることで、次のように結論できます。

まず損益比 R を R＝a/b で定義します。
0＜x＜1 の範囲における、次の方程式の解を S とします（この範囲における解は１つしかありません）。

このとき、次の評価式が成立します。
n/b と R がともに整数の場合は、右辺の等号が成立します。つまり、破産の確率＝Sn/b です。

この評価式、みなさんは知ってましたか？
もっと良い評価式もあるのでしょうか。私は、知らないのですが。

なお、この評価式の証明は、数学の素養があればそれほど難しくありません。知りたい人は、フェラーの本を見てください。フェラーの 『確率論とその応用』 は、「１」 と 「２」 があり、それぞれ上巻・下巻に分かれています（つまり全４巻）。この評価式は、「１」 の下巻、461ページにある式（8・12）から導くことができます。

例をあげましょう。

Ｂさんは、150万円で株をやっている。トレード１回ごとの勝率は 40％だが、勝つときは 20万円儲け、負けるときは 8万円損をする。Ｂさんの破産の確率はいくらか。
ここでも資金に下限を設け、残金が 50万円以下になったら破産（ゲームオーバー）と考えましょう。
つまり、100万円の損すると破産ですから、n＝100 と見なせばいいです。
R＝20/8＝2.5、P＝0.4 ですから、方程式は次のようになります。
この方程式の 0＜x＜1 の範囲における解をパソコンで求めると x＝0.738… です。
n/b＝100/8＝12.5 ですから、次の式が成立。
(0.738…)13.5＜破産の確率≦(0.738…)12.5
関数電卓で計算すると、
0.016…＜破産の確率≦0.022…
破産の確率は 1.6〜2.2％くらいですね。ちょっと危険みたいです。

さて、賭け金を一定にするのではなく、資金に対して一定の比率で賭けていく場合はどうでしょうか。
つまり、その時点の資金を A 円とするとき、一定の比率 k （0＜k＜1）を用いて、勝てば R×k×A 円儲け、負ければ k×A 円損するように賭けるとします。

たとえば、損益比 R（＝利益÷損失）が 2 とします。k＝0.1 なら、常に資金の 10％をリスクにさらします。資金 100万円なら、負けは 10万円の損、勝ちは 20万円の得となるように賭け、それに勝って資金が 120万円になれば、次は、負けは 12万円の損、勝ちは 24万円の得となるように賭けるわけです。

はじめの資金を A0 円とし、資金が B 円以下になったら破産とします。

【注】 定率の場合、破産基準の B 円の設定は不可欠です。なにも条件を課さないと、たとえば k＝0.5 の場合、残金が１円でも 0.5円を賭け、それに負けると次は 0.25円を賭け、さらに負けても 0.125円を賭け … と次々に小さな金額を賭けてくるので、いつまでたっても破産しません。
W 回勝って、L 回負けたとき、資金が B 円以下になって破産する条件は、次の式です。
対数をとって変形すると次のようになります。
a、b、n を次のように定義します。
そうすると、上の式は、
と同じことです。
結局、この問題は 「資金が n 円、勝つと a 円儲け、負けると b 円失うときの破産の確率は？」 と同じです。つまり、このページのはじめの <問題> に還元されるわけです。

上に書いた確率の評価式は、a、b、n が整数でなくても成立するので、それを適用すれば評価が出せます。

方程式 PxR+1 - x + 1 - P = 0 を解く必要があるので、計算ソフトを作ってみました。ちゃちなソフトですが、よかったらご自由にお使いください。ダウンロードはこちらのページからどうぞ。

パソコンを使うなら、もっと正確な値を出す方法があるのかもしれませんけどね。

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