20150922_楕円関数とおもしろい応用

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1. 1. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 楕円関数とおもしろい応用 @matsumoring 2015.9.22 @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
2. 2. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 三角関数 Definition. “円周率” π を π 2 := ∫ 1 0 dx √ 1 − x2 で定める．また, x = sin u def. ⇐⇒ u = ∫ x 0 dx √ 1 − x2 ( −1 ≤ x ≤ 1 −π/2 ≤ u ≤ π/2 ) とする． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
3. 3. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 x2 + y2 = 1 の微分を考えて x + y dy dx = 0, よって dy dx = − x y ⇒ u = ∫ x 0 √ 1 + ( dy dx )2 dx = ∫ x 0 √ y2 + x2 y2 dx = ∫ x 0 dx y = ∫ x 0 dx √ 1 − x2 . ⇝ 幾何学的に R 全体に拡張する． x y 0 1x +− u @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
4. 4. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proposition. sin(u + 2π) = sin u, sin(−u) = − sin u. Proof. 後半のみ示す． ∫ −y0 0 dx √ 1 − x2 = (x=−y) − ∫ y0 0 dy √ 1 − y2 =: −u ∴ sin(−u) = −y0 = − sin u. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
5. 5. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Theorem. u, v を十分小さくとれば次式が成立； sin(u + v) = sin u √ 1 − sin2 v + sin v √ 1 − sin2 u Proof. z = x √ 1 − y2 + y √ 1 − x2 とおく． z :十分小を fix. ここで x 0 → x y z → y に注意． dz = (√ 1 − y2 − xy √ 1 − x2 ) dx + ( − xy √ 1 − y2 + √ 1 − x2 ) dy = 0 ∴ (√ (1 − x2)(1 − y2) − xy ) ( dx √ 1 − x2 + dy √ 1 − y2 ) = 0. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
6. 6. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proof (Cont.) dx √ 1 − x2 + dy √ 1 − y2 = 0 ⇒ ∫ x 0 dx √ 1 − x2 + ∫ y z dy √ 1 − y2 = 0 ⇒ ∫ x 0 dx √ 1 − x2 =: u + ∫ y 0 dy √ 1 − y2 =: v = ∫ z 0 dz √ 1 − z2 . すなわち次が成り立つ． sin(u + v) = z = x √ 1 − y2 + y √ 1 − x2. ここで x = sin u, y = sin v より証明は完了する． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
7. 7. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 cos 関数を次のようにして定める． Definition. cos u := sin (π 2 − u ) . ここで次は明らか． Proposition. cos2 u + sin2 u = 1. Theorem. sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v. Question. sin π 6 を求めよ． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
8. 8. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 レムニスケート関数 Definition. “レムニスケート周率” ϖ を ϖ 2 := ∫ 1 0 dx √ 1 − x4 で定める．また， x = sl u def. ⇐⇒ u = ∫ x 0 dx √ 1 − x4 ( −1 ≤ x ≤ 1 −ϖ/2 ≤ u ≤ ϖ/2 ) とする． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
9. 9. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 三角関数のときと同様に r2 = cos 2θ の微 分を考える．rdr = − sin 2θ dθ より， dθ dr = − r sin 2θ = − r √ 1 − r4 ⇒ u = ∫ r 0 √ 1 + ( r dθ dr )2 dr = ∫ r 0 √ 1 − r4 + r4 1 − r4 dr = ∫ r 0 dr √ 1 − r4 . ⇝ 幾何学的に R 全体に拡張する． x y 1−1 u r + − @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
10. 10. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 三角関数のときと同様に考えて Proposition. sl(u + 2ϖ) = sl u, sl(−u) = − sl u. Theorem. u, v を十分小さくとれば次式が成立； sl(u + v) = sl u √ 1 − sl4 v + sl v √ 1 − sl4 u 1 + sl2 u sl2 v . が成立する． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
11. 11. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 cl 関数を次のようにして定める． Definition. cl u := sl (ϖ 2 − u ) . Proposition. cl2 u + cl2 u sl2 u + sl2 u = 1. Theorem. sl(u + v) = sl u cl v + cl u sl v 1 − sl u cl u sl v cl v . Question. sl ϖ 6 を求めよ． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
12. 12. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Definition. v ∈ R, i = √ −1 とする． sl iv := i sl v, cl iv := 1 cl v . ∵ ∫ iy0 0 dx √ 1 − x4 = (x=iy) i ∫ y0 0 dy √ 1 − y4 =: iv より sl iv = iy0 = i sl v, cl iv = √ 1 − sl2 iv 1 + sl2 iv = √ 1 + sl2 v 1 − sl2 v = 1 cl v . @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
13. 13. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 加法定理とあわせて， Definition. u, v ∈ R とする． sl(u + iv) := sl u cl iv + cl u sl iv 1 − sl u cl u sl iv cl iv . Proposition. sl(u + 2ϖi) = sl u (∀u ∈ C). Proof. u = a + bi, (a, b ∈ R) とおけば sl(u + 2ϖi) = sl (a + (b + 2ϖ)i) = sl(a + bi) = sl u. @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
14. 14. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Definition. R 上独立な 2 つの周期を持つ有理型関数を楕円関数という． Remark. sl の基本周期は実は 2ϖ と ϖ + ϖi である． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
15. 15. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Definition. a, b > 0, a0 := a, b0 := b an+1 := an + bn 2 , bn+1 := √ anbn とする．このとき， M(a, b) := lim n→∞ an = lim n→∞ bn と定め，a と b の “算術幾何平均” とよぶ． Theorem. M(1, √ 2) = π ϖ . @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
16. 16. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 単振り子 l mgt = 0 θ E = 1 2 m ( l ˙θ )2 + mgl (1 − cos θ) = mgl (1 − cos θ0) (ただし −θ0 ≤ θ ≤ θ0.) ここで m = g = l = 1 とする． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
17. 17. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 1 2 ˙θ2 + (1 − cos θ) = 1 − cos θ0 ⇒ 1 2 ˙θ2 + 2 sin2 θ 2 = 2 sin2 θ0 2 ⇒ ˙θ2 = 4 ( sin2 θ0 2 − sin2 θ 2 ) k := sin θ0 2 = 4k2 ( 1 − sin2 φ ) k sin φ := sin θ 2 = 4k2 cos2 φ k cos φ dφ = 1 2 cos θ 2 dθ ∴ dθ dt = 2k cos φ = 1 2 √ 1 − k2 sin2 φ dθ dθ = 2k cos φ dφ √ 1 − k2 sin2 φ @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
18. 18. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 t = ∫ t 0 dt = ∫ θ 0 dθ 2k cos φ = ∫ φ 0 dφ √ 1 − k2 sin2 φ = ∫ x 0 dx √ (1 − x2)(1 − k2x2) x = sin φ dx = cos φ dφ = √ 1 − x2 dφ θ 0 → θ0 φ 0 → π/2 x 0 → 1 @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
19. 19. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Jacobi の楕円関数 Definition. K(k) = K := ∫ π/2 0 dφ √ 1 − k2 sin2 φ = ∫ 1 0 dx √ (1 − x2)(1 − k2x2) と定める．ここで K : 第一種完全楕円積分，k : 母数，k′ := √ 1 − k2 : 補母数 という． Definition. x = sn(u, k) = sn u def. ⇐⇒ u = ∫ x 0 dx √ (1 − x2)(1 − k2x2) また， cn u := √ 1 − sn2 u, dn u := √ 1 − k2 sn2 u. ※今までと同様に R 全体に 拡張しておく． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
20. 20. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 定義からすぐ分かること k → 0 sn u → sin u, k = i sn u = sl u, cl u = cn u/ dn u k → 1 sn u → tanh u Proposition. sn(−u) = − sn u, sn(u + 4K) = sn u, cn(−u) = cn u, cn(u + 4K) = cn u, dn(−u) = dn u, dn(u + 2K) = dn u. u 0 K 2K 3K 4K dn u 1 k′ 1 k′ 1 @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
21. 21. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Theorem. (sn の加法定理) sn(u + v) = sn u cn v dn v + sn v cn u dn u 1 − k2 sn2 u sn2 v Theorem. (Landen 変換) k1 := 1 − k′ 1 + k′ とおく．このとき sn ( (1 + k′ )u, k1 ) = (1 + k′ ) sn(u, k) cn(u, k) dn(u, k) が成立． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
22. 22. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proposition. K = 2 1 + k′ K1 ( K1 := K(k1) ) Proof. Landen 変換で u = K とすると sn ( (1 + k′ )K, k1 ) = (1 + k′ ) sn(K, k) cn(K, k) dn(K, k) = 0 (∵ cn(K, k) = 0, dn(K, k) ̸= 0). よって (1 + k′ )K = 2nK であるが，実は n = 1． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
23. 23. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Theorem. a, b > 0, k′ := b/a とする．このとき M(1, k′ ) = π 2K . Proof. k′ 1 := √ 1 − k2 1 とおけば， k′ 1 = √ 1 − ( 1 − k′ 1 + k′ )2 = √ (1 + k′)2 − (1 − k′)2 (1 + k′)2 = √ 4k′ (1 + k′)2 = 2 √ k′ 1 + k′ . @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
24. 24. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proof (Cont.) つまり k′ 1 = 2 √ k′ 1 + k′ . ここで k′ = b/a としたので k′ 1 = 2 √ b/a 1 + (b/a) = 2 a + b √ ab = b1 a1 . @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
25. 25. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proof (Cont.) ここで I(a, b) := ∫ π/2 0 dφ √ a2 cos2 φ + b2 sin2 φ と書くと K = ∫ π/2 0 dφ √ 1 − k2 sin2 φ = ∫ π/2 0 dφ √ cos2 φ + (1 − k2) sin2 φ = I(1, k′ ) = I ( 1, b a ) = aI(a, b) 同様に K1 = a1I(a1, b1) が分かる． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
26. 26. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proof (Cont.) Landen 変換の後の Proposition より K = 2 1 + k′ K1 = 2 1 + (b/a) K1 = 2a a + b K1 = a a1 K1. よって aI(a, b) = a a1 a1I(a1, b1) ∴ I(a, b) = I(a1, b1). 同様にして K a = I(a, b) = I(a1, b1) = I(a2, b2) = · · · = I(a∞, b∞). @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
27. 27. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proof (Cont.) I(a∞, b∞) = 1 M(a, b) I(1, 1) であるから K a = I(a∞, b∞) = 1 M(a, b) I(1, 1) = 1 aM(1, b/a) ∫ π/2 0 dφ = 1 aM(1, k′) π 2 ∴ M(1, k′ ) = π 2K Corollary. M(1, √ 2) = π ϖ @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
28. 28. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Definition. v ∈ R, i = √ −1 とする． sn(iv, k) := i sn(v, k′ ) cn(v, k′) , cn(iv, k) := 1 cn(v, k′) , dn(iv, k) := dn(v, k′ ) cn(v, k′) . これは y0 ∈ R をとって ∫ iy0 0 dx √ (1 − x2)(1 − k2x2) を考えればよい． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
29. 29. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 u, v ∈ R に対し sn(u + iv, k) 等を加法定理の式で定めれば 周期 極（1 位） 零点（1 位） sn 4K, 2K′ i 2mK + (2n − 1)K′ i 2mK + 2nK′ i cn 4K, 2K + 2K′ i 〃 (2m − 1)K + 2nK′ i dn 2K, 4K′ i 〃 (2m − 1)K + (2n − 1)K′ i ただし K′ := K(k′ ), m, n ∈ Z である． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
30. 30. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 テータ関数 簡単のため次の記法を用いる； ∏ := ∞∏ n=1 , ∑ := ∞∑ n=−∞ Definition. v ∈ C, τ ∈ H = {z ∈ C | Im z > 0}, z := eπiv , q := eπiτ とおく． ϑ1(v) := Cq1/4 z − z−1 i ∏ (1 − q2n z2 )(1 − q2n z−2 ) ϑ2(v) := Cq1/4 (z + z−1 ) ∏ (1 + q2n z2 )(1 + q2n z−2 ) ϑ3(v) := C ∏ (1 + q2n−1 z2 )(1 + q2n−1 z−2 ) ϑ0(v) := C ∏ (1 − q2n−1 z2 )(1 − q2n−1 z−2 ) ここで C := ∏ (1 − q2n ) である．また ϑ3 := ϑ3(0) 等と書く． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
31. 31. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 ここで ϑ0(v) = 0 ⇔ q2n−1 z±2 = 1 ⇔ eπi ( (2n−1)τ±2v ) = 1 ⇔ (2n − 1)τ ± 2v = 2m ⇔ v = ±m ∓ (n − 1 2 )τ @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
32. 32. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 零点 τ = K′ K i, v = u 2K のとき ϑ1 m + nτ 2mK + 2nK′ i ϑ2 ( m − 1 2 ) + nτ (2m − 1)K + 2nK′ i ϑ3 ( m − 1 2 ) + ( n − 1 2 ) τ (2m − 1)K + (2n − 1)K′ i ϑ0 m + ( n − 1 2 ) τ 2mK + (2n − 1)K′ i ϑ0 = 0 ( u 2K ) ⇔ u 2K = m + ( n − 1 2 ) K′ K i u = 2mK + (2n − 1) K′ i @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
33. 33. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proposition. sn u = C1 ϑ1(v) ϑ0(v) , cn u = C2 ϑ2(v) ϑ0(v) , dn u = C3 ϑ3(v) ϑ0(v) . Proposition. ϑk(v + 2) = ϑk(v) (k = 1, 2, 3, 0) Proof. v → v + 2 のとき， eπi(v+2) = eπiv より z → z から分かる． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
34. 34. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proposition. (ϑk の Fourier 展開) ϑ1(v) = i ∑ (−1)n q(2n−1 2 ) 2 z2n−1 ϑ2(v) = ∑ q(2n−1 2 ) 2 z2n−1 ϑ3(v) = ∑ qn2 z2n ϑ0(v) = ∑ (−1)n qn2 z2n Proposition. (熱方程式) ∂2 ϑk ∂v2 = 4πi ∂ϑk ∂τ Proof. 項別微分すればよい． @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
35. 35. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Fact. ℘(u) − ℘(v) = −ϑ′2 1 ϑ1(u + v)ϑ1(u − v) ϑ1(u)2ϑ1(v)2 . ただし ℘ の周期は 1, τ である． Proposition. ϑ4 3 = 4q d dq log ϑ2 ϑ0 . @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
36. 36. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Theorem. n ∈ N, Φ(n) := #{(n1, n2, n3, n4) ∈ Z4 | n2 1 + n2 2 + n2 3 + n2 4 = n} とす る．このとき σ1(n) := ∑ k∈N k|n k, σ2(n) := ∑ k∈4N k|n k, σ(n) := σ1(n) − σ2(n) とすれば Φ(n) = 8σ(n). @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
37. 37. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proof of Theorem. ϑ3 = ∑ qn2 より ϑ4 3 = ∑∞ n=0 Φ(n)qn が分かる．よって ϑ2 ϑ0 = 2q 1 4 ∏ (1 + q2n )2 (1 − q2n )2 ∏ (1 − q2n−1)2(1 − q2n)2 = 2q 1 4 ∏ (1 − q4n )2 ∏ (1 − qn)2 この自然対数をとって log ϑ2 ϑ0 = log 2 + 1 4 log q + 2 ∞∑ n=1 log(1 − q4n ) + ∞∑ n=1 log(1 − qn ) ⇒ d dq log ϑ2 ϑ0 = 1 4q + 2 ∞∑ n=1 −4nq4n−1 1 − q4n − 2 ∞∑ n=1 −nqn−1 1 − qn @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用
38. 38. 三角関数 レムニスケート関数 Jacobi の楕円関数 テータ関数 Proof (Cont.) ϑ4 3 = 1 − 8 ∞∑ n=1 4nq4n 1 − q4n + 8 ∞∑ n=1 nqn 1 − qn = 1 − 8 ∞∑ n=1 4nq4n ∞∑ m=0 q4nm + 8 ∞∑ n=1 nqn ∞∑ m=0 qnm = 1 − 8 ∞∑ m=0 ∞∑ n=1 4nq4n(m+1) + 8 ∞∑ m=0 ∞∑ n=1 nqn(m+1) = 1 − 8 ∞∑ n=1 σ2(n)qn + 8 ∞∑ n=1 σ1(n)qn = 1 + 8 ∞∑ n=1 σ(n)qn 以上より Φ(n) = 8σ(n). @matsumoring 楕円関数とおもしろい応用