統計学における推定
- （専門用語で）標本集団から母集団の特徴を推定すること
- （意訳）一部のデータの特徴から全体の特徴を予想すること
統計といえば推定と検定。その1つ，推定の基本的な考え方について解説します。
点推定と区間推定
「母集団の特徴を推定する」をもう少し詳しく言うと，母集団の平均や分散など，分布を表現するパラメータの値を予想するとなります。
値の予測の仕方によって「点推定」と「区間推定」という手法に分けることができます。
（図は値の平均の推定を表す。）
- 点推定：値をピンポイントで推定
- 区間推定：値を「この幅の間におそらくいる！」という区間で推定
点推定
以下，点推定と区間推定の具体例についてそれぞれ詳しく解説します。
例
とある国には小学6年生が$100$万人（母集団）いる。この$100$万人の身長の平均値（とついでに分散も）を知りたい。しかし,$100$万人の身長を測るのは大変なので，代表して$100$人（標本集団）の身長を測り，そのデータをもとに平均と分散を推定したい，どうすればよいか。
普通は「$100$人の身長の平均と分散を全体の平均と分散とみなそう」と考えますね。実は（推定量が不偏かどうかという観点で見ると）平均はOKで分散は厳密にはNGです。
理由
- 「標本集団の平均」の期待値と「母集団の平均」は等しい。
- 「標本集団の分散」の期待値と「母集団の分散」はわずかに異なる。
注：推定量の良さの数学的な表現には「不偏性」だけでなく「有効性」や「一致性」などもあります。
注：$100$人をランダムに選出する必要があります。同じ地域からまとめて取ったりしたら偏る可能性があります。
区間推定
次は区間推定です。先ほどの例より数学色が濃いです。
例
平均が$\mu$，分散が$1$である正規分布から$100$個の標本を抽出したところ，平均が$3$であった。$\mu$を区間推定せよ。
おそらく$\mu$は$3$あたりでしょう（点推定）。では$2$や$4$になりうるのか，そんなことはほぼありえないのか？というところまで考えるのが区間推定です。
詳細は省略しますが，正規分布の性質と正規分布表より，$P(-1.65\leq 3-\mu \leq 1.65)=0.9$が分かります。つまり，$P(1.35\leq \mu \leq 4.65)=0.9$となり，$90$％の確率で$\mu$は$1.35$から$4.65$の間にあると推定することができます。
信頼区間
上記の結果は統計学の言葉で言うと「$\mu$に対する$90$％信頼区間は$[1.35,4.65]$である」と言います。ここで決めた$90$％という数字は信頼水準と呼ばれ，別の値にすることもできます（自分で好きに決めれる）。
信頼水準を大きくする（外れる確率が小さくなる）と信頼区間は広がり（推定が甘くなる），信頼水準を小さくすると信頼区間は狭くなります。外れる確率を下げたいのか，鋭い推定をしたいのか，トレードオフです。
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