圏論 3分(?) クッキング

圏論 3分(?) クッキング

1. 1. 圏論３分クッキング (ゆるふわ)
2. 2. 圏論３分クッキング (ゆるふわ) 30
3. 3. 趣旨 ● wikipedia「圏」の項を 適宜、簡略,追加して書いています – https://ja.wikipedia.org/wiki/圏_(数学) ● 圏論を …ゆるふわに説明したいなぁ 。
4. 4. 目録 ● 圏の定義 ● 圏の例(群の圏) ● 関手 ● おまけ
5. 5. 僕 ・名前:   あいや (@aiya_000) – 主兵装: C# – 使いたいもの: Haskell – 自学で圏論をちょくちょく進めては Twitterでご指摘をいただいている (大感謝)
6. 6. 圏の定義
7. 7. 圏の定義 ● 圏Cとは次のものからなる – 対象 ­ 対象X, 対象Y, 対象Z (X,Y,Z C)∈ – 射 ­ 対象の組(X, Y)  に対して 射f : X ­> Y – 恒等射 ­ 任意の対象X  に対して 射idX : X ­> X 対象X, Y, Z 射f : X ­> Y 射idX : X ­> X 射idY : Y ­> Y
8. 8. 圏の定義 ● 圏Cとは次のものからなる – 合成  ● 任意の対象の組(X,Y,Z) があり ● 射f : X ­> Y, g : Y ­> Z があるとき ● 射g   f : X ­> Z ○ が合成可能 射f : X ­> Y 射g : Y ­> Z  射の合成演算子 (○)  射 (g ○ f) : X ­> Z
9. 9. 圏の定義 ● ちなみに – 射fの対象Xを「射のdomain(始域)」 – 射fの対象Yを「射のcodomain(終域)」という ● 射gのYは始域, Zは終域 射f : X ­> Y 射g : Y ­> Z  射の合成演算子 (○)  射 (g ○ f) : X ­> Z
10. 10. 圏の定義 ● 射は射の合成について以下を満たす – (h   g)   f = h   (g   f) (○ ○ ○ ○ 結合律) – idY   f = f   id○ ○ X = f f : X ­> Y g : Y ­> Z h : Z ­> V idX : X ­> X idY : Y ­> Y
11. 11. 圏の例(群の圏)
12. 12. 圏の例(群の圏) ● 圏Grp ­ 群の圏(群視点) – 群が対象 – 群の準同型写像が射 圏Grpの部分圏Grp' Z Y 対象A(群A) X X' 対象B(群B) Y' Z' 射f(準同型写像f):A ­> B
13. 13. 圏の例(群の圏) ● 圏Grp ­ 群の圏(圏視点) – 群が対象 – 群の準同型写像が射 A B 射f:A ­> B 圏Grpの部分圏Grp'
14. 14. 関手
15. 15. 関手 ● 2つの圏C,Dがあったとき ● 関手F:C ­> Dは圏C,Dに以下の対応関係を与える – Cの対象X　　に対し Dの対象F(X) – Cの射f : X ­> Y に対し – Dの射F(f) : F(X) ­> F(Y)
16. 16. 関手 ● Cの対象X　　に対し Dの対象F(X) ● Cの射f : X ­> Y に対し Dの射F(f): F(X) ­> F(Y) X Y f F(X) F(Y) F(f)関手F 圏C 圏D
17. 17. 関手 ● 関手は対象と射に関する次の性質を満たす – Cの各対象をDの各対象に対応させる = 対象関数 – Cにおける射をDにおける射に対応させる = 射関数 X Y f F(X) F(Y) F(f)関手F 圏C 圏D
18. 18. 関手 ● Cの各対象をDの各対象に対応させる – 対象X C∈    と 対象F(X) D∈ – 対象Y C∈    と 対象F(Y) D∈ X Y f F(X) F(Y) F(f) 圏C 圏D
19. 19. 関手 ● Cにおける射をDにおける射に対応させ 次に示す2つの性質を満たす – ①各対象X C∈ に対して F(idX) = idF(X) 圏C 圏D X idX idF(X) F(X)
20. 20. 関手 ● ①各対象X C∈  に対して F(idX) = idF(X) – idX      C∈ – idF(X)    D∈ – F(idX)   D∈ 圏C 圏D X idX idF(X) F(X)
21. 21. 関手 ● ①各対象X C∈  に対して F(idX) = idF(X) – 関手の始域の圏の各対象の恒等射は – 必ず終域の圏の各対象の恒等射に写される 圏C 圏D X idX idF(X) F(X)
22. 22. 関手 ● Cにおける射をDにおける射に対応させ 次に示す2つの性質を満たす – ②任意の射f:X­>Y, g:Y­>Z  に対して F(g f○ ) = F(g)   F(○ f) Zunko has gone to the heaven / 圏C X Y Z f g g f○ 圏D X Y Z F(f) F(g) F(g f○ ) = F(g)○F(f)
23. 23. 関手 ● 任意の射f:X­>Y, g:Y­>Z  に対して F(g f○ ) = F(g)   F(○ f) ● これは関手が「射の構造を保つ」ことを示す Zunko has gone to the heaven / 圏C X Y Z f g g f○ 圏D X Y Z F(f) F(g) F(g f○ ) = F(g)○F(f)
24. 24. おまけ
25. 25. おまけ モナドは単なる 自己関手の圏における モノイド対象だよ♡
26. 26. おまけ ● 始域と終域の圏が同じ関手G : C ­> Cを 「自己関手」と呼ぶ – 「恒等関手」は自己関手の一種 圏C X Y Z f g 関手G : C ­> C だいじ！
27. 27. owari !