※ 以下は「伸縮する数学書」のテストです．
ステートメントや証明中の特定の場所をクリックすると，説明が挿入され（ることがあり）ます．

第１章　有限整域の理論

定理 1.1

はである．
有限整域とは，台集合の濃度が有限であるようなのことである．
整域とは，零環ではない可換環のうち，ab=0 を満たす任意の元 a, b について，a=0 か b=0 が成立するもののことである．
体とは，零環ではない可換環のうち，0 でない全ての元が可逆であるもののことである．
証明： A について，A がであることを示す． A の 0 でない任意の元 a をとる．a の逆元が存在することを証明したい． そのためには，写像 f\colon A \to A; x \mapsto ax が全射であることを
なぜなら，これが全射であれば f(b)=1 を満たす b\in A がとれるが，この b が a の逆元とからである．
（f の定め方から ab=1 であるが，A は整域であり，従って可換環だから ba=1 でもある．）
ところが，A は整域だから f は
これを示すために，2 元 b, c\in A で f(b)=f(c) が満たされるものをとる．すると，ab=ac すなわち a(b-c)=0 が成立する．A が整域で a\neq 0 であることから，b-c=0，従って b=c が成立する．これで f の単射性が示された．
また，A は有限集合だから f は全射でもある．（証明終）

なお，有限体の理論の研究は読者に任せる．

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