現在では太陽は1月初めに最も地球に近く、7月初めに最も遠くなりなりますが、やは...

思い込みだけで回答するのは誤りのもとなので、実際計算してみます。
地球太陽間の距離を1日おきに1年分調べその差分を計算、1秒あたりの距離の変化、すなわち、地球太陽間の視線速度に直して、グラフ化しました。（下図）
最大は4月上旬で+500m/s、最少になるのは10月はじめで-500m/s。
もちろん肉眼でわかるものではありません。
最近は、恒星のスペクトルの変化で次々の惑星が発見されていますが、これに用いられた観測機器では、10m/s程度の変化も測定できているようです。(*1)
よって、±500m/sの変化であれば十分観測可能だと考えます。
もっとも、地球太陽間の距離において、実際に観測者と太陽表面の距離は、地球の自転（(最大±464m/s)、太陽の自転(最大おおよそ±2000m/s)の影響も受けますので、これらの影響を補正して計算しなければいけません。
sorairoschoolさんのかかれた、太陽重力場の影響も考慮にいれなければいけませんが、太陽重力場の影響は厳密に計算できるので、その分補正するだけでいいでしょう。

(*1)参考：
「太陽系外惑星、灼熱の巨大惑星、超巨大コアをもつ惑星」
http://www.rikanenpyo.jp/kaisetsu/tenmon/tenmon_024.html

近日点では太陽重力場の影響が最大になることも考慮しないと。

速度の影響と重力場の影響、どちらが優勢となるか計算しなければなんとも言えません。

▼現在では太陽は1月初めに最も地球に近く7月初めに最も遠くなりなりますがやはりドップラー効果により太陽は4月初めに最も赤く10月初めに最も青く見えますか…？

(o≧▽゜)o解法します…

これ太陽についてドップラー効果なんて見えないし…(泣)

観測しても検出できないよ…

つまり、地球太陽においては相対速度が遅すぎるよ…

(^_-)-☆理工学部マキ姫

理論的にはそういうことになるわな。超精密に測定しても変化は検出できないほどわずかやろうけど。

地球軌道は楕円ですが、ほぼ円軌道と考えて良いと思います。
すると軌道上の進行方向に対して、太陽の位置は常に直角方向で、季節によっての変化はありません。
いつ見ても、同じではないですか？