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Integral of X^X (self.math)

abushk が 投稿

ごめんなさい。これは既にアーカイブしてあり、もう投票はできません。

So I'm currently in calc 3, and I asked my teacher about the indefinite integral of (xx ) dx. My teacher said that there is no closed form solution using elementary functions. I was curious, has that been proven? Is it even true, or am I just being told that because the solution is too advanced and/or not applicable to my class.

全 56 件のコメント
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[–]RiemannZeta 55ポイント56ポイント  (22子コメント)

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Yes this is a known fact. See http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(differential_algebra)

[–]abushk[S] 10ポイント11ポイント  (21子コメント)

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Well then... I guess that settles it.

[–]iorgfeflkd 18ポイント19ポイント  (0子コメント)

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You can take a taylor series of ex log x and then integrate each term, which has a solution in terms of incomplete gamma functions. The integral is then a sum over an incomplete gamma function representing the integral of each taylor term.

More specifically, the integrals of xx and x-x from 0 to 1 are called the Sophomore's dream, because there's a neat pseudo-coincidence that integral from zero to one of x-x is equal to the sum from one to infinity of n-n

[–]drock_davis 18ポイント19ポイント  (4子コメント)

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There's tons of functions out there without purely analytical solutions/antiderivatives. Take ex2 for example. There are well known numerical solutions though.

[–]abushk[S] 6ポイント7ポイント  (1子コメント)

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I understand that there are, but I was just skeptical about this particular function. I don't know why. I guess I figured if I consulted you guys my curiosity would be satisfied.

[–]Unrouted 8ポイント9ポイント  (0子コメント)

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Here's a fun exercise.

  1. Read about the Cauchy Product.

  2. Try it with the Taylor Expansion of ex.

EDIT: You can also compare this with the Taylor expansion of the integrals of ex2 and xx.

[–]limes_limes_limes -1ポイント0ポイント  (1子コメント)

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What does it mean for a numerical solution to be "well known"?

[–]orangejake 1ポイント2ポイント  (0子コメント)

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Saying that there's no solution in elementary functions may make it seem like these functions aren't particularly well studied, that isn't the case. While there's no easy representation of them, they can easily be evaluated at a point (before computers, there would be tables of these functions evaluated at different points to use as a reference).

Additionally, good approximations generally exist, which allow for manipulation. So "well known" numerical solutions mean that, while there isn't a solution in terms of elementary functions, there still is a solution that is well defined, and fairly easy to implement.

[–]zifyoip 25ポイント26ポイント  (2子コメント)

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It is likely true. WolframAlpha does not report an elementary antiderivative:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=antiderivative+of+x^x

Not all elementary functions have elementary antiderivatives. The Risch algorithm is a method to determine whether an elementary function has an elementary antiderivative and to find an elementary antiderivative if one exists. This algorithm could be applied to the function xx to answer this question. I don't know for sure if this is what WolframAlpha does.

[–]Chthonos 13ポイント14ポイント  (1子コメント)

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Last I checked, there's still no full implementation of the Risch algorithm anywhere. That was a couple of years ago, though, so it could have changed by now.

[–]zifyoip 9ポイント10ポイント  (0子コメント)

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That was my impression too, but the Wikipedia article that I linked to has an Implementation section that led me to believe it has now been fully implemented.

[–]Save_the_landmines 3ポイント4ポイント  (2子コメント)

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The only formula I've been able to find is a not-so-pretty infinite sum for the integral of tetrations (expressions of the form x^x^...^x). It's equation (10) at http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html. Note that Γ denotes the upper incomplete gamma function. For your case, xx, set m = 2.

Not in closed form, obviously.

[–]philly_fan_in_chi 0ポイント1ポイント  (1子コメント)

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Here's a paper on the limit of expressions of that form as x-->0 from a former professor of mine.

[–][deleted] 3ポイント4ポイント  (0子コメント)

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Lol what on earth is that thing at the bottom of page 3?

[–]Telegramsam75 2ポイント3ポイント  (0子コメント)

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It does not have an antiderivative that can by written in closed form. Investigate the Lambert W function for more insight. The buck stops there for current math knowledge.

[–]RottMaster 9ポイント10ポイント  (3子コメント)

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-1\12?

[–]AnticPosition 3ポイント4ポイント  (0子コメント)

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nono, that's the sum of all natural numbers... -_-;

[–]abushk[S] 3ポイント4ポイント  (1子コメント)

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Umm.... I think you commented on the wrong thread.

[–]RottMaster 5ポイント6ポイント  (0子コメント)

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Maybe

[–]clutchest_nugget 1ポイント2ポイント  (1子コメント)

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I would really like to see a proof of this fact, if anyone is so inclined.

[–]zifyoip 4ポイント5ポイント  (0子コメント)

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A proof would be an application of the Risch algorithm, with the result of the algorithm being that there is no elementary antiderivative.

[–][deleted] 1ポイント2ポイント  (2子コメント)

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If anyone else is curious about what the integral of xx looks like, here's a graph. I'll warn you though, it's not very interesting.

I made this with wxMaxima using the QUADPACK numerical integrator:

plot2d(quad_qag(z^z,z,0,x,6)[1], [x,0,2]);

[–]abushk[S] 4ポイント5ポイント  (0子コメント)

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I thought it was interesting.

[–]n3verloseApplied Math 5ポイント6ポイント  (0子コメント)

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It's much more interesting for negative x, and especially complex x.