I am aware that Incompleteness Theorem poses a problem for mathematics because no matter how large the initial axioms you start out with are, there will be some calculations that you are unable to make (assuming you have a consistent system.) For instance Goldbach's conjecture - that any even number + 1 is an odd number - is impossible to prove. I've also heard Turing made the situation even harder for mathematicians by showing that you can't know which calculations are unanswerable and which are but I'm a little unclear on this.
If mathematics is just a formal type of logic, what were the wider reprocussions for logic and philosophy of Godel's theorem?
Was Russell's "Mathmatica Principia" challenged? Do we emphasise consistency more now that we cannot reason indefinitely to larger conclusions?
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