テイラー展開

澤山　晋太郎　博士（理学）

 

テイラー展開とは何か

無限回微分できるあらゆる関数は多項式で表すことができる。サインやコサインも多項式で表すことができる。N回微分可能なものはｎ次で近似できる。主に、物理学での近似で使う。例えば以下のような近似があるが、それを証明できる。ここではxがゼロに近いところの近似である。テイラー展開を使った近似は高校物理でも使うので説明しておく。

 

 

 

 

テイラー展開の証明

１：中間値の定理

２：最大値の定理

３：ロルの定理

４：平均値の定理

５：コーシーの平均値の定理

６：ロピタルの定理

７：テイラーの定理

８：マクローリン展開

 

１中間値の定理

 

 

 

 

これは図を書けば自明

 

２：最大値の定理

 

 

 

 

 

 

これも図から自明。

 

３：ロルの定理

 

 

 

 

 

 

 

 

４：平均値の定理

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

５：コーシーの平均値の定理

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

６：ロピタルの定理

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

７：テイラーの定理

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

８：マクローリン展開

 

 

 

 

 

 

 

 

主要関数のマクローリン展開