つながり方・まがり方・大きさ
matsumoring氏の発表タイトルは「つながり方・まがり方・大きさ」。「今日は幾何学の話。プログラミングとは関係ない」と前置きしながらも、正多面体や球面などの立体図形を題材に簡単な計算をすることで、図形のつながり方・まがり方・大きさの関係を紹介。
この発表では参加者に正多面体の一覧と展開図の一覧が配られた。
正多面体は5つしかない。これはユークリッドの原論である。5つとは正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体である。
まずはつながり方を考える上で、それら5つの正多面体について(1)：点の数、(2)：辺の数、(3)：面の数、(4)：(1)ー(2)＋(3)を埋めていく作業を行った。
この表を見れば分かるとおり、(4)はすべて「2」となっている。この2の正体はオイラーの定理で説明できる。2は球面のオイラー数。オイラー数とは図形のつながり方を表す数字である。膨らませると球面になる多面体のオイラー数は2になるというわけだ。ちなみにドーナツのオイラー数は0となる。
「g個穴が開くと（種数g）オイラー数は2-2g。gが0だと球面の場合は2。ドーナツの場合はgが1なので2-2で0となる」と、matsumoring氏は続ける。
「オイラー数は点の数と辺の数と面の数で計算しており、形は見ていない。辺が多少曲がっていようが、面が凸凹していようが部品の数が同じなら2になる。オイラー数は図形のつながり方を表す量だからだ」
まがり方についても同様、各正多面体について(5)：1頂点に集まる角度、(6)：角不足（360°-(5)）、(7)：全頂点分（(1)×(6)）について埋めていく作業を行った。ここでも参加者一人ずつに答えてもらっていくmatsumoring氏。表を見れば分かるとおり、(7)がすべて720°となっている。これはデカルトの定理。
2×360°。2は先述したように球面のオイラー数である。これからつながり方とまがり方が関係していることがわかる。
次は大きさについて。三角形の内角の和は180度である。これは次の式で表せる。
matsumoring氏は「後者の方が好き。その答えは後ほど」と語り、説明は三角形の外角の和へ。内角の和が180度ということは外角の和が360度であることと同値である。
この式の証明は外角を平行移動することでできる。平行移動できるということは平面が曲がっていないからで、「曲面上の三角形の外角の和は360度にならない」。
逆に考えると、「360°-外角の和」が曲面のまがり具合を表す量になっているということ。「この量は三角形の大きさによるので、三角形の取り方によらず曲面のまがり具合を表すには面積の分調整をする必要がある」と言う。
これは半径rの球面のガウス曲率を表す。例えば平面の場合は(α+β+γ)-π=0となり、これは平面のGauss曲率が0ということを表している。「これが後者の式が好きだという理由だ」とmatsumoring氏は説明した。
球面の場合は、三角形の分だけ寄せ集めてこなければならない。つまり、以下の式を球面全体にわたって足し合わせなければならない。
一般的に球面のように一様なまがり方をしていない曲面Mのガウス曲率Kは定数にならないので、その上の三角形Δについては以下の式が成り立つ。
また、向きづけ可能な閉曲面M（穴がぼこぼこ開いているドーナツのお化けのようなもの）が三角形に分割されて、頂点がV個、辺がE個、面がF個あるとする。さっきと同様に、両辺の和を計算すると以下のようになるという。
ここで再びオイラー数が登場。
そして、最終的に向きづけられた閉曲面Mのオイラー数χとガウス曲率Kに対し、以下の式が成り立つ。
ちなみにχはつながり方、Kはまがり方、dSは微小面積（大きさ）。これが「ガウス-ボンネの定理」である。「これにより、まがり方を集めるとつながり方がわかるということが理解できたのでは」と呼びかけ、発表を終了した。
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