「虚数とは何か？」が一気に分かりやすくなる記事
高校生なら誰もが一度は「分けがわからん！！」となる単元。虚数・複素数。
実在しない数をなんで勉強するの？
どうせ将来使わないでしょ？
っていうか結局なんのために学ぶの？
こういう感想が出てきてしまいますよね。
そこで今回は、分かりやすさ重視で「虚数とは」「複素数平面とは」何なのか、どう役に立ってくるのかを書いていきます。
photo credit: Karl-Ludwig Poggemann
虚数とは、2乗したら-1になる数のこと
まず当たり前の再確認。
虚数とは英語でimaginary numberといい、2乗したときに「-1」になる数のことです。
数学では「i」と表記され、
i × i = -1
となります。
英語を直訳すると「想像上の数」 であることからも分かる通り、このような数は現実には存在しません。
存在しないものをなぜ勉強するの？
虚数という言葉を初めて書物に書いたのは、「我思う、故に我あり」で有名なデカルトとされています。
当時は哲学者の間でも「実在しない数を使っていいものなのか？」と疑問はあったそうですが、実際に計算に使ってみたらあまりにも便利すぎたために、瞬く間に数学者の間で広く使われるようになったようです。
答え：「虚数が存在すると仮定すると、すごく便利だったから」
どう便利なの？
では、具体的にどう便利なのか？
その答えは、「1つの数字で、座標を表せること」にあります。
まず、正の数しか使えない世界を考えましょう。
この世界では、「東に1m進む」「北に3m進む」といった表現しかできません。
そのため「東に～」と言う表現で進める領域は、上図のように東側にしか存在しません。
次に、正の数と負の数が使える世界。
この世界では「西に2m進む」ことを「東に-2m進む」と表現することができるようになります。
そのため「東に～」と言う表現で進める領域は、上図のように東西の両側に広がりました。
では、「東に～」という表現で北や南に進むにはどうすればいいのか？
少なくとも正の数・負の数だけでは表現できません。
そこで役に立つのが虚数です。
上図が、正の数・負の数・虚数が使える世界。
この世界では、「北に2m進む」ことを「東に2i m進む」と表現できるようになります。
「南に1m進む」のは「東に-i m進む」と表現できます。
これにより、「東に～」という表現だけで進める領域が東西南北の4方向に広がりました。
最後に、複素数が使える世界。
複素数とは、私たちが普段使っている「1」や「3」と、虚数「i」や「5i」を合わせた数のコト。
たとえば「-7＋15i」などが複素数です。
この世界では、図の星(☆)マークに行くことを「東に3+2i m進む」と表現することができ、菱形(◇)マークに行く事を「東に-1-i m進む」と表現することができます。
このように複素数が使えるようになることで、「東に～」という表現だけで進める領域が4方・8方全ての領域へと広がりました。
これが「3+2i」という1つの数字で座標を表せるということです。
上図のように複素数で表現された平面は「複素数平面」と呼ばれています。
南北をiで表現する意味
さて、「i」を利用すれば1つの数字で座標を表せることが分かりました。
しかし、なぜ「i」でなければいけないのでしょうか？
「2乗したら-1になる数」を使う必要性はあるのか？
実は、その必要性があるんです。
その答えは、掛け算にあります。
たとえば「1+i」や「4+3i」を先ほどのように図で表す場合、下図のように表すことができます。
つぎに、「1+i」や「4+3i」に「i」を掛けてみましょう。
(1+i)×i=-1+i
(4+3i)×i=-3+4i
この「-1+i」や「-3+4i」を複素数平面で表すと、下図のようになります。
なにかに気付きませんか？
実は、「i」を掛けた後の点は、「i」を掛ける前の点を「原点を中心に反時計回りに90度回転させた」座標にあるんです。
これはiを何度かけても同じことで、iを4回かけると
i×i×i×i＝(-1)×(-1)=1で、元の位置に戻ってきます。
ちょうど、90度回転を4回して360度一回転するように。
「iをかけると反時計回りに90度回転させた座標に移動する」
iにはこのような性質があるが故に、「北に3m進む」ことを「東に3i m進む」と表現するのにピッタリな存在だったんです。
※「東に3i m進む」＝「東から反時計周りに90度回転させた方向(=北)に向かって3m進む」
虚数・複素数はこのように、空間上の移動の結果を数式でバシッと表すことができる、すごく便利なツールなんですよ。
それでは、明日も当たり前の事をアタリマエ！にやっていきましょう！ではでは！