Rによる主成分分析 入門

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• 1. 主成分分析って？ 多変量のデータを統合し、 新たな総合指標を作り出すための手法。 多くの変数に重みをつけて 少数の合成変数を作るのが主成分分析です。 2参考：マクロミル http://www.macromill.com/landing/words/b007.html
• 2. 使うデータ 3 名   前 チ ー ム 防 御 率 試 合 数 勝   利 敗   北 セ ー ブ 勝   率 投 球 回 被 安 打 被 H R 四   球 死   球 奪 三 振 失   点 自 責 点 菅 野 巨 人 3.12 27 13 6 0 0.684 176 166 10 37 5 155 70 61 藤 浪 阪 神 2.75 24 10 6 0 0.625 137.2 119 10 44 2 126 48 42 前 田 広 島 2.10 26 15 7 0 0.682 175.2 129 13 40 2 158 46 41 田 中 楽 天 1.27 28 24 0 1 1 212 168 6 32 3 183 35 30 摂 津 バ ン ク ソ フ ト 3.05 25 15 8 0 0.652 162.1 138 11 42 8 146 68 55 大 谷 日 ハ ム 4.23 13 3 0 0 1 61.2 57 4 33 8 46 30 29 ※2013年の規定投球回1/3以上を投げてる113投手 分析で使うデータグラフ用 データ元：プロ野球データFreak http://baseball-data.com/
• 3. Plotしてみる 4 2次元のプロットが 14C2=91通りもできるん だから、１枚ずつ見て いったら切りがない！
• 4. 分析しづらいから もっと変数を減らし て！！ 5
• 5. 分析手順 下図のZk(k=1,2,…,n)の分散が最大に なるようなa11∼annを決める。            6 第１主成分 第２主成分 第 n 主成分 (防御率・試合数・四球 etc.)
• 6. わかりにくいので、２次元で考える 7 名 前 投球回 被安打 菅野 176 166 藤浪 137.2 119 前田 175.2 129 田中 212 168 摂津 162.1 138 大谷 61.2 57 ※ 計113投手
• 7. わかりにくいので、２次元で考える 8
• 8. わかりにくいので、２次元で考える 9 先ほどのZkの分散が最大に なるように新たな軸となる 線をひく。
• 9. わかりにくいので、２次元で考える 10 それぞれの点から垂線を下ろし たときの交点が、主成分得点と なり、１次元で表せるように なった。 先ほどのZkの分散が最大に なるように新たな軸となる 線をひく。
• 10. わかりにくいので、２次元で考える 11 先ほどのZkの分散が最大に なるように新たな軸となる 線をひく。 情報損失 第２主成分以降はこの 情報損失を補うように していく それぞれの点から垂線を下ろし たときの交点が、主成分得点と なり、１次元で表せるように なった。
• 11. なんでZkの分散が最大に なるようにとるの？ 12
• 12. 直感的なお話 13 適切な軸をとらないと、情報 の損失が起き、データどうし の距離が近くなってしまう。 分散が小さくなる ＝
• 13. 数学のお話 14参考文献： http://racco.mikeneko.jp/Kougi/10s/AS/AS06pr.pdf
• 14. 数学のお話 15参考文献： http://racco.mikeneko.jp/Kougi/10s/AS/AS06pr.pdf これだとa1,a２はいくらでも大きくできてしまう
• 15. 数学のお話 16参考文献： http://racco.mikeneko.jp/Kougi/10s/AS/AS06pr.pdf そこで制約条件を考える x2 x1 θ1 θ2 1 a1 a2 つまり、a1とa２の比(=主成分の傾き)＋原点となる 基準点(=重心)を考えることで、分散が大きくなり 続けることを制限している max. s.t.
• 16. 数学のお話 17参考文献： http://racco.mikeneko.jp/Kougi/10s/AS/AS06pr.pdf 分散共分散行列！ 固有値問題になった！
• 17. ここで… 18 先ほどの上式の①に×a1、②に×a2をして足すと …① …② ( 制約条件) となり、λはZkの分散であることがわかった。 max. s.t.
• 18. これに関連して…  軸を最適にしようというのはわかった。 が、まだ問題がある。 19  一般にデータは列ごとに単位が異なることが多い。  単位が違ったまま考えると分散・共分散を考えるときに、  大きく差が生じてしまう。 参考文献： http://racco.mikeneko.jp/Kougi/10s/AS/AS06pr.pdf
• 19. これに関連して… 20参考文献： http://racco.mikeneko.jp/Kougi/10s/AS/AS06pr.pdf そこで！  軸を最適にしようというのはわかった。 が、まだ問題がある。  一般にデータは列ごとに単位が異なることが多い。  単位が違ったまま考えると分散・共分散を考えるときに、  大きく差が生じてしまう。
• 20. 21参考文献： http://racco.mikeneko.jp/Kougi/10s/AS/AS06pr.pdf 標準化！
• 21. 簡単のため２次元で考えて きましたが、多次元でも考え にくいだけで考え方は一緒です。 22
• 22. DEMONSTRATION 23 WITH
• 23. 24 一致してる！
• 24. 25 固有ベクトルなの で、マイナスを外 に出すかで結果が 変わり ますが、結果的に は一緒です 標準化 ver.
• 25. 26 投球回 被安打 傾きを表してる 寄与率
• 26. 多次元 Ver. 27
• 27. ※再掲 28 名   前 チ ー ム 防 御 率 試 合 数 勝   利 敗   北 セ ー ブ 勝   率 投 球 回 被 安 打 被 H R 四   球 死   球 奪 三 振 失   点 自 責 点 菅 野 巨 人 3.12 27 13 6 0 0.684 176 166 10 37 5 155 70 61 藤 浪 阪 神 2.75 24 10 6 0 0.625 137.2 119 10 44 2 126 48 42 前 田 広 島 2.10 26 15 7 0 0.682 175.2 129 13 40 2 158 46 41 田 中 楽 天 1.27 28 24 0 1 1 212 168 6 32 3 183 35 30 摂 津 バ ン ク ソ フ ト 3.05 25 15 8 0 0.652 162.1 138 11 42 8 146 68 55 大 谷 日 ハ ム 4.23 13 3 0 0 1 61.2 57 4 33 8 46 30 29 ※2013年の規定投球回1/3以上を投げてる113投手 分析で使うデータグラフ用 データ元：プロ野球データFreak http://baseball-data.com/
• 28. 固有値・固有ベクトル 29 ※標準化してます
• 29. 主成分 30 ※標準化してます
• 30. 見づらいけど… 31
• 31. 若干、マシ 32 奪三振 勝利 失点 自責点 フォアボール
• 32. 寄与率 33 一般的に累積寄与率が0.8を超える主成分までを 考慮するので、今回は第４主成分まで考える
• 33. 解釈 Z1 = 0.093 × 防御率 – 0.19 × 試合数 + 0.28 × 勝利 + 0.28 × 敗北 - 0.15 × セーブ +    0.04 × 勝率 + 0.34 × 投球回 + 0.35 × 被安打 + 0.31 × 被本塁打 + 0.29 × 四球 + 0.18 × 死球 + 0.28 × 奪三振 + 0.35 × 失点 + 0.35 × 自責点    先発投手度 Z2 = - 0.58 × 防御率 + 0.31 × 試合数 + 0.34 × 勝利 – 0.18 × 敗北 + 0.22 × セーブ +    0.40 × 勝率 + 0.22 × 投球回 + 0.07 × 被安打 – 0.07 × 被本塁打 + 0.003 × 四球 - 0.02 × 死球 + 0.34 × 奪三振 – 0.18 × 失点 – 0.14 × 自責点    点を取られない投手度 Z3 = - 0.15 × 防御率 + 0.41 × 試合数 - 0.18 × 勝利 + 0.41 × 敗北 + 0.47 × セーブ -    0.57 × 勝率 + 0.05 × 投球回 + 0.07 × 被安打 + 0.07 × 被本塁打 + 0.08 × 四球 - 0.14 × 死球 + 0.13 × 奪三振 + 0.06 × 失点 + 0.03 × 自責点    抑え投手度 Z4 = - 0.04 × 防御率 – 0.07 × 試合数 + 0.02 × 勝利 – 0.03 × 敗北 – 0.31 × セーブ -    0.03 × 勝率 + 0.06 × 投球回 + 0.02 × 被安打 + 0.14 × 被本塁打 + 0.10 × 四球 - 0.91 × 死球 + 0.11 × 奪三振 – 0.04 × 失点 – 0.02 × 自責点    コントロールが良い投手度 34
• 34. まとめ •  変数を減らすことができたが、解釈に主観 が入ってしまうため、使いどころが難しい。 •  この手法とクラスター分析などを組み合わ せれば、解釈が多少容易になる。 •  量的変数だけでなく、質的変数でも得点化 すれば、この手法が使えるので、アンケー トデータなどの分析にも便利。 35