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• 1. 時計の世界の整数論 日曜数学者 辻順平（@tsujimotter） http://tsujimotter.info 第２回 プログラマのための数学勉強会 （2015 年 3 月 27 日） 2015/3/28 1
• 2. 日曜数学（者）とは 興味の赴くままに「趣味として」 数学を探究する行為（人） 一番「熱い」と思う対象について学ぶ・話す 2015/3/28 2
• 3. 整数論 2015/3/28 3
• 4. きっかけ カール・フリードリヒ・ガウス 2015/3/28 4
• 5. Disquisitiones Arithmeticae (D.A.) 日本語訳では “ガウス整数論” 2015/3/28 5 0 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 時間時計 0 1 23 4 5 時間時計 時計の世界の整数論
• 6. 「そのような日々の中で， 私はゆくりなくあるすばらしいアリトメティカの真理に出会ったの である．（中略） やがて私はついに望みどおりの成功を収めたが， そのころにはこのような研究の魅力にすっかり取り付かれてしまい， もう立ち去ることはできなかった．」 高瀬正仁訳「ガウス整数論」 （緒言より抜粋） 2015/3/28 6
• 7. 気になる！ 2015/3/28 7
• 8. 理解したい！！ 2015/3/28 8
• 9. 「時計の世界の整数論」の概観 STEP 1: 時計の世界のキソ知識 STEP 2: 時計の世界の中の法則 • フェルマーの小定理 • 原始根定理 • オイラーの基準 STEP 3: 2つ時計の世界をつなぐ法則 • 平方剰余の相互法則 ガウスが見つけた整数論の真理 • 時計の世界とは • 足し算／掛け算ができる • べき乗の表を作る 2015/3/28 9
• 10. 整数論の２通りの愉しみ方 「芸術」のように愉しむ 背景や美しさを理解して鑑賞する 「パズルゲーム」のように愉しむ 手を動かして遊ぶ 2015/3/28 10
• 11. 「時計の世界の整数論」の概観 STEP 1: 時計の世界のキソ知識 • 時計の世界とは • 足し算／掛け算ができる • べき乗の表を作る STEP 2: 時計の世界の中の法則 • フェルマーの小定理 • 原始根定理 • オイラーの基準 STEP 3: 2つ時計の世界をつなぐ法則 • 平方剰余の相互法則 ガウスが見つけた整数論の真理 手を動かして 法則を見つけよう！ 美しい法則を 鑑賞しよう！ 2015/3/28 11
• 12. 「時計の世界の整数論」の概観 STEP 1: 時計の世界のキソ知識 • 時計の世界とは • 足し算／掛け算ができる • べき乗の表を作る STEP 2: 時計の世界の中の法則 • フェルマーの小定理 • 原始根定理 • オイラーの基準 STEP 3: 2つ時計の世界をつなぐ法則 • 平方剰余の相互法則 ガウスが見つけた整数論の真理 手を動かして 法則を見つけよう！ 美しい法則を 鑑賞しよう！ 2015/3/28 12
• 13. 時計の世界とは …, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, … 一直線上に数が並ぶ 一般的な整数の世界では・・・ 2015/3/28 13
• 14. 0 1 23 4 5 6 78 9 10 11 1213 14 15 16 1718 19 螺旋状に数を巻き付ける 2015/3/28 14
• 15. 0 1 23 4 5 6 78 9 10 11 1213 14 15 16 1718 19 「時計の世界」完成！ 2015/3/28 15
• 16. 0 1 23 4 5 6 78 9 10 11 1213 14 15 16 1718 19 同じ時間に位置する数は合同の関係にある 例：5 時間時計において 1 と 6 は同じ時間を指している ⇔ 5 時間時計において 1 と 6 は合同である ⇔ 1 ≡ 6 mod 5 2015/3/28 16
• 17. 0 1 23 4 5 6 78 9 10 11 1213 14 15 16 1718 19 1 ≡ 6 ≡ 11 ≡ 16 mod 5 2015/3/28 17
• 18. 0 1 23 4 合同な数は「同じもの」とみなして最も小さい数で代表して考えてよい 例： 5 時間時計では，{0, 1, 2, 3, 4} の数だけ考える 時計の世界 ＝ 整数のミニチュア 2015/3/28 18 足し算／掛け算ができる！
• 19. 時計の世界の「足し算」 0 1 23 4 0 1 23 4 0 1 23 4 ＋ ≡ 1 + 3 ≡ 4 (mod 5) 2015/3/28 19
• 20. 時計の世界の「足し算」 0 1 23 4 0 1 23 4 0 1 23 4 ＋ ≡ 3 + 4 ≡ 2 (mod 5) (7) があるつもりで・・・ 2015/3/28 20
• 21. 時計の世界の「掛け算」 0 1 23 4 0 1 23 4 0 1 23 4 × ≡ 3 × 2 ≡ 1 (mod 5) (6) があるつもりで・・・ 2015/3/28 21
• 22. 0 1 23 4 0 1 23 4 0 1 23 4 × ≡ 3 × 3 ≡ 4 (mod 5) (9) 時計の世界の「掛け算」 2015/3/28 22
• 23. 0 1 23 4 0 1 23 4 の 2 乗 ≡ 32 ≡ 4 (mod 5) (9) 時計の世界の「掛け算」 2015/3/28 23
• 24. 0 1 23 4 0 1 23 4 の 2 乗 × ≡ 32 × 3 ≡ 2 (mod 5) 0 1 23 4 時計の世界の「掛け算」 2015/3/28 24
• 25. 0 1 23 4 0 1 23 4 × ≡ 4 × 3 ≡ 2 (mod 5) 0 1 23 4 (12) 時計の世界の「掛け算」 2015/3/28 25
• 26. 時計の世界の「掛け算」 0 1 23 4 0 1 23 4 の 3 乗 ≡ 33 ≡ 2 (mod 5) 2015/3/28 26
• 27. n n1 n2 n3 n4 3 3 4 2 1 33 ≡ 2 (mod 5)31 ≡ 3 (mod 5) 32 ≡ 4 (mod 5) 34 ≡ 1 (mod 5) べき乗を並べて表を作る 2015/3/28 27
• 28. n n1 n2 n3 n4 1 1 1 1 1 3 3 4 2 1 べき乗を並べて表を作る 2015/3/28 28
• 29. n n1 n2 n3 n4 1 1 1 1 1 2 2 4 3 1 3 3 4 2 1 4 4 1 4 1 べき乗を並べて表を作る 2015/3/28 29
• 30. 0 1 23 4 5 時間時計 の世界 n n1 n2 n3 n4 1 1 1 1 1 2 2 4 3 1 3 3 4 2 1 4 4 1 4 1 2015/3/28 30 5 時間時計
• 31. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 5 10 9 3 3 9 5 4 1 3 4 4 5 9 3 1 4 5 5 3 4 9 1 5 6 6 3 7 9 10 5 7 時間時計 の世界 2015/3/28 31 0 1 2 34 5 6 7 時間時計
• 32. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1 3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1 4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1 5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1 6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1 7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1 8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1 9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1 10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 11 時間時計 の世界 2015/3/28 32 0 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 時間時計
• 33. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n11 n12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 3 6 12 11 9 5 10 7 1 3 3 9 1 3 9 1 3 9 1 3 9 1 4 4 3 12 9 10 1 4 3 12 9 10 1 5 5 12 8 1 5 12 8 1 5 12 8 1 6 6 10 8 9 2 12 7 3 5 4 11 1 7 7 10 5 9 11 12 6 3 8 4 2 1 8 8 12 5 1 8 12 5 1 8 12 5 1 9 9 3 1 9 3 1 9 3 1 9 3 1 10 10 9 12 3 4 1 10 9 12 3 4 1 11 11 4 5 3 7 12 2 9 8 10 6 1 12 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 13 時間時計 の世界 2015/3/28 33
• 34. 「時計の世界の整数論」の概観 STEP 1: 時計の世界のキソ知識 • 時計の世界とは • 足し算／掛け算ができる • べき乗の表を作る STEP 2: 時計の世界の中の法則 • フェルマーの小定理 • 原始根定理 • オイラーの基準 STEP 3: 2つ時計の世界をつなぐ法則 • 平方剰余の相互法則 ガウスが見つけた整数論の真理 手を動かして 法則を見つけよう！ 美しい法則を 鑑賞しよう！ 2015/3/28 34
• 35. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1 3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1 4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1 5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1 6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1 7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1 8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1 9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1 10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 つじのほうそく： 1 のべき乗はすべて 1 たとえばこんな法則が・・・ 2015/3/28 35
• 36. 問題 5 時間時計, 7 時間時計, 11 時間時計, 13 時間時計, 17 時間時計, … の世界で「できる限り多くの法則」を見つけてみましょう（２分間） 怪しいところを見つけたら，○で印をつけてみましょう 資料をお持ちの方は，そちらを使ってください。 Webで観ている方は，http://tsujimotter.info/maths4pg/2/ にある表を使ってください。 2015/3/28 36
• 37. 解答へ Go!! 2015/3/28 37
• 38. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1 3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1 4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1 5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1 6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1 7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1 8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1 9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1 10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 解答例 2015/3/28 38
• 39. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1 3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1 4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1 5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1 6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1 7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1 8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1 9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1 10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 n10 が すべて 1に合同フェルマーの小定理： p が素数のとき 𝑛𝑛 ≢ 0 (mod 𝑝𝑝) である n に対して 𝑛𝑛𝑝𝑝−1 ≡ 1 mod 𝑝𝑝 2015/3/28 39 解 (1)
• 40. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1 3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1 4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1 5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1 6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1 7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1 8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1 9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1 10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 原始根定理： 𝑝𝑝 が素数のとき 𝑛𝑛1, 𝑛𝑛2, 𝑛𝑛3, … , 𝑛𝑛𝑝𝑝−1 (mod 𝑝𝑝) の列が 1, 2, 3, … , 𝑝𝑝 − 1 のすべての数を通るような 数 𝑛𝑛（原始根）が存在する。 １つの行に 1 から 10 までのすべての数が登場 2015/3/28 40 解 (2)
• 41. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1 3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1 4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1 5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1 6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1 7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1 8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1 9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1 10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 0 1 2 3 9 4 56 7 8 10 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 原始根のべき乗によって，0 以外のすべての数を巡回できる！ 原始根 n = 2 2015/3/28 41
• 42. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1 3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1 4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1 5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1 6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1 7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1 8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1 9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1 10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 2015/3/28 42 解 (3) n2 列（超重要！） n2 列 に{1, 3, 4, 5, 9} のみが現れる
• 43. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1 3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1 4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1 5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1 6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1 7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1 8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1 9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1 10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 2015/3/28 43 解 (3) n5 列（オイラーの基準） オイラーの基準が 1 となるような n は {1, 3, 4, 5, 9} だけ 一致！ n2 列 に{1, 3, 4, 5, 9} のみが現れる
• 44. 0 1 2 3 4 56 7 8 9 (-1) 11 時間時計 0 1 23 5 時間時計 (-1) 4 ≡ -1 (mod 5) 10 ≡ -1 (mod 11) ちょっと寄り道 2015/3/28 44 オイラーの基準 より p 時間時計で (-1) は n2 列に存在する ⇔ p は 4N + 1 型
• 45. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 5 (-1) 9 7 3 6 1 3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1 4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1 5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1 6 6 3 7 9 (-1) 5 8 4 2 1 7 7 5 2 3 (-1) 4 6 9 8 1 8 8 9 6 4 (-1) 3 2 5 7 1 9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1 (-1) (-1) 1 (-1) 1 (-1) 1 (-1) 1 (-1) 1 n2 列に (-1) が存在しない 2015/3/28 45 n5 列（オイラーの基準）n2 列 (11 – 1) / 2 = 奇数 ⇔ 11 は 4N+3 型 11時間時計の場合：
• 46. n n1 n2 n3 n4 1 1 1 1 1 2 2 (-1) 3 1 3 3 (-1) 2 1 (-1) (-1) 1 (-1) 1 2015/3/28 46 n2 列に (-1) が存在する n2 列 (5 – 1) / 2 = 偶数 ⇔ 5 は 4N+1 型 5 時間時計の場合： N(5-1)/2 列（オイラーの基準）
• 47. •5 = 22 + 12 •13 = 32 + 22 •17 = 42 + 12 •29 = 52 + 22 •7 •11 •19 •23 フェルマーの 二平方定理 素数 p が二平方の和で表せる ⇔ p は 4N + 1 型 2015/3/28 47 4N+3 型4N+1 型
• 48. オイラーの基準 より p 時間時計で (-1) は n2 列に存在する ⇔ p は 4N + 1 型 フェルマーの 二平方定理 素数 p が二平方の和で表せる ⇔ p は 4N + 1 型 2015/3/28 48 深い関係！ ちょっと寄り道
• 49. 「時計の世界の整数論」の概観 STEP 1: 時計の世界のキソ知識 • 時計の世界とは • 足し算／掛け算ができる • べき乗の表を作る STEP 2: 時計の世界の中の法則 • フェルマーの小定理 • 原始根定理 • オイラーの基準 STEP 3: 2つ時計の世界をつなぐ法則 • 平方剰余の相互法則 ガウスが見つけた整数論の真理 手を動かして 法則を見つけよう！ 美しい法則を 鑑賞しよう！ 2015/3/28 49
• 50. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1 3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1 4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1 5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1 6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1 7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1 8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1 9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1 10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 ここまでは，１つの時計の世界で完結する話 2015/3/28 50
• 51. n n1 n2 n3 n4 1 1 1 1 1 2 2 4 3 1 3 3 4 2 1 4 4 1 4 1 n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1 3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1 4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1 5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1 6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1 7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1 8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1 9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1 10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 最後は，２つの時計の世界を「結ぶ」法則 2015/3/28 51
• 52. 5 時間時計 の世界 11 時間時計 の世界 n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1 3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1 4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1 5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1 6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1 7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1 8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1 9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1 10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 1 ≡ 11 n n1 n2 n3 n4 1 1 1 1 1 2 2 4 3 1 3 3 4 2 1 4 4 1 4 1 5 時間時計 の世界で n2 列に 11 (≡1) がある ⇔ 11 時間時計 の世界で n2 列に 5 がある 2015/3/28 52
• 53. 2015/3/28 53 5 時間時計 の世界で n2 列に 11 (≡1) がある ⇔ 11 時間時計 の世界で n2 列に 5 がある 5 時間時計 の世界で n2 列に 7 (≡2) がない ⇔ 7 時間時計 の世界で n2 列に 5 がない
• 54. 5 時間時計 の世界で n2 列に 11 (≡1) がある ⇔ 11 時間時計 の世界で n2 列に 5 がある 5 時間時計 の世界で n2 列に 7 (≡2) がない ⇔ 7 時間時計 の世界で n2 列に 5 がない 2015/3/28 54 7 時間時計 の世界で n2 列に 11 (≡4) がある ⇔ 11 時間時計 の世界で n2 列に 7 がない ひっくり返る！ちょっとした例外？
• 55. 平方剰余の相互法則 5 時間時計 の世界で n2 列に 11 (≡1) がある ⇔ 11 時間時計 の世界で n2 列に 5 がある 5 時間時計 の世界で n2 列に 7 (≡2) がない ⇔ 7 時間時計 の世界で n2 列に 5 がない 2015/3/28 55 4N+1型 4N+1型 4N+3型 4N+3型 7 時間時計 の世界で n2 列に 11 (≡4) がある ⇔ 11 時間時計 の世界で n2 列に 7 がない4N+3型 4N+3型 両方 4n+3型のとき ひっくり返る！
• 56. 平方剰余の相互法則のイメージ 0 1 23 4 0 1 2 3 4 56 7 8 9 10 (11) 相互法則！ 11 時間時計で 5 が n2 列にある5 時間時計で 11 が n2 列にある 平方剰余 平方剰余 2015/3/28 56
• 57. 0 1 23 4 5 (270329) 相互法則！ 270329 時間時計で 5 が n2 列にある5 時間時計で 270329(≡4) が n2 列にある 平方剰余平方剰余 平方剰余の相互法則を使うと・・・ 2015/3/28 57
• 58. 「ドヤ！！」 と言っていることでしょう 2015/3/28 58
• 59. まとめ STEP 1: 時計の世界のキソ知識 • 時計の世界とは • 足し算／掛け算ができる • べき乗の表を作る STEP 2: 時計の世界の中の法則 • フェルマーの小定理 • 原始根定理 • オイラーの基準 STEP 3: 2つ時計の世界をつなぐ法則 • 平方剰余の相互法則 ガウスが見つけた整数論の真理 手を動かして 法則を見つけよう！ 美しい法則を 鑑賞しよう！ 2015/3/28 59
• 60. 「芸術」のように愉しむ 背景や美しさを理解して鑑賞する 「パズルゲーム」のように愉しむ 手を動かして遊ぶ 2015/3/28 60
• 61. 先に進みたい方へ • 加藤和也 著「数論への招待」丸善出版 • 加藤和也 著「素数の歌が聞こえる」ぷねうま舎 • kamiyama2 さん「ゆっくり整数論（ニコニコ動画）」 http://www.nicovideo.jp/watch/sm24669239 シリーズ１２回で「平方剰余の相互法則」を証明する • TSKiさん「美的数学のすすめ」 http://biteki-math.hatenablog.com/ 2015/3/28 61
• 62. もっと先に進みたい方へ • 青木昇 著「素数と２次体の整数論」共立出版 • 加藤 和也, 斎藤 毅, 黒川 信重 著「数論Ⅰ Fermatの夢と類体論」 岩波書店 • 高木貞二 著「初等整数論講義」共立出版 • ガウス著，高瀬正仁 訳「ガウス整数論」朝倉書店 2015/3/28 62
• 63. 関連記事（tsujimotterのノートブック） • 「フェルマーの二平方定理」 http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/03/21/025930 • 「平方剰余の第一補充則から二平方定理を導く」 http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/quadratic-residue-and-sum-of-two-squares • 「続・二平方定理 (オイラーの 6n+1 定理)」 http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/euler-6n-plus-1-theorem • 「循環小数(1): フェルマーの小定理」 http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/04/08/212954 2015/3/28 63
• 64. 2015/3/28 64 整数論を一緒に愉しみませんか？ tsujimotter からのメッセージ 日曜数学者 辻順平（@tsujimotter） http://tsujimotter.info
• 65. 以下，補足スライド 2015/3/28 65
• 66. 補足：平方剰余の定義 • p 時間時計において n2 の列に a が存在する ⇔ a は p の平方剰余 ⇔ 𝑎𝑎 𝑝𝑝 = 1 • p 時間時計において n2 の列に a が存在しない ⇔ a は p の平方非剰余 ⇔ 𝑎𝑎 𝑝𝑝 = −1 2015/3/28 66
• 67. 補足：平方剰余の相互法則 𝑝𝑝, 𝑞𝑞 を相異なる奇素数としたとき，以下が成り立つ 𝑝𝑝 𝑞𝑞 = −1 𝑝𝑝−1 2 ⋅ 𝑞𝑞−1 2 𝑞𝑞 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑞𝑞 = 𝑞𝑞 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑞𝑞 = − 𝑞𝑞 𝑝𝑝 2015/3/28 67 𝑝𝑝 または 𝑞𝑞 のいずれかが 4𝑛𝑛 + 1 型の場合： 𝑝𝑝 と 𝑞𝑞 のどちらも 4𝑛𝑛 + 3 型の場合：