点Oを中心とする半径1の円があり、その円内のランダムな位置に2点A,Bをポイントし...

ryon71111さん、

A(cos(α),sin(α))、B(cos(β),sin(β))
とおきます。また、O(0,0)です。

OAとOBは恒に１ですよね。ですから、OA+OB=2…①
AB^2=(cos(α)-cos(β))^2+(sin(α)-sin(β))^2
=(cos(α))^2-2cos(α)・cos(β)+(cos(β))^2+(sin(α))^2-2sin(α)・sin(β)+(sin(β))^2
={(cos(α))^2+(sin(α))^2}+{(cos(β))^2+(sin(α))^2}-2cos(α)・cos(β)-2sin(α)・sin(β)
=1+1-2{cos(α)・cos(β)+sin(α)・sin(β)}

ここで余弦の加法定理、
cos(α-β)=cos(α)・cos(β)+sin(α)・sin(β)
を適用させる

AB^2=2-2{cos(α-β)}
AB=√[2-2{cos(α-β)}]…②

①と②より周の長さOABは、
2+√[2-2{cos(α-β)}]
さらにα-β=γとおくと、
OAB=2+√[2-2{cos(γ)}]
ここで、
0≦γ≦π
なので、
cos(γ)は０からπ/2と、π/2からπまでの間で符号の違う同じ値をとる。
言い換えるとcos(γ)の値を0≦γ≦πでたし合わせると全体で０になるということ。グラフを書くと絶対わかるから（笑）。
だから、
OABの平均=2+√[2-2×０]=2+√2
となる。