A =
(a b c)
(d e f)
(g h i)
とします。

det(A-tI) =
|a-t　b　　　c　|
|d　　e-t　　f　|
|g　　　h　　i-t|
ですが、私だったらサラスの方法を使います。
でも、
(a-t)(e-t)(i-t) + bfg + cdh - (a-t)fh - bd(i-t) - c(e-t)g
のようにはしません。
t^3 の項、t^2 の項、t の項、定数項に初めから分けて計算します。
-t^3 + (a+e+i)t^2 + (-ae-ei-ia+bd+cg+fh)t + det(A)
という感じです。
たぶん、上の行列式をよーく見ると、なぜこうなるか理解できると思います。

でも、
普通に計算すると煩雑だが確実
私の方法だとすぐ答えが出るが少し頭を使う
ということは言えそうです。