2015年02月14日
■[OoM] 単位の換算
いきなりですが問題です.
求める式と答えを書きましょう.
(1) 1時間は,60分です.2時間は,何分ですか.
(2) 240分は,何時間ですか.
さっそくですが解答です.(1)は,1時間が2つということで,60×2=120 答え120分です.(2)は,240÷60=4 答え4時間です.
さらにですが問題です.
(3) 48分は,何時間ですか.
(4) 0.4時間は,何分ですか.
分を60でわれば,時間になるのですから,(3)は,48÷60=0.8 答え0.8時間となります.
時間を分にするのは,その逆演算とみて,60をかけるとしましょう.そうすると,(4)は,0.4×60=24 答え24分です.
こうして並べたときに,(2)と(3)はともに「60でわる」によって答えを求めていますが,(1)では60がかけられる数,(4)ではかける数となっています.
このような式の多様性は,Vergnaud (1983, 1988)を知っていればスムーズに理解できます.(1)の式は,1時間の2倍です.累加で60+60=120と求めることもでき,これもまた,60×2の根拠となります.
それに対し,(4)では,「時間」の量空間をイメージすることからはじめます.「何時間」で表される数量すべてからなる集合です.次に,「分」の量空間も,同様にイメージします.
それらの量空間の仲立ちとなるのが,「時間の値を60倍すれば,同じ(時間的な)長さの,分の値になる」という性質であり,略すと「時間に60をかければ,分になる」です.その逆演算は,「分の値を60分の1にすれば,同じ(時間的な)長さの,時間の値になる」であり,「分を60でわれば,時間になる」です.
ここで60倍というのは,1時間=60分,2時間=120分,0.8時間=48分など,同じ(時間的な)長さになる2つの数量を対応づけるものとして,どちらかというと帰納的に,成立することを知っておく必要もあります.そういった対応づけは,小学校の算数では4年や5年で学習するとされています.
「空間をイメージ」を,小学校の算数で実現するには,対応表です.
かけ算・わり算の関係をつけると,以下のように表せます.
大人の世界では,ここまでの議論をもとに,(1)には2×60の式,また(4)には60×0.4の式を,それぞれ立てて答えが求められると言ってもいいのですが,Vergnaud (1988)で取り上げられている,おもちゃの車の問題をふまえると,(1)に対して2×60は,低学年の子どもたちにはなじみにくいかもしれません.
ここでさらに,問題です.
「0.4時間は,何分ですか.」をかけ算で求めるとき,何がかけられる数,何がかける数であるべきでしょうか.
優等生的な解答はというと,60×0.4でも0.4×60でも求められるので,「どちらでもいい」なのですが,ここに,出典を挙げて一つの答えを導出せよ,という条件をつけ加えるなら,60をかけられる数,0.4をかける数にするのが良さそうです.
参照するのはGreer (1992)です.乗除算のモデル表の"Measure conversion"に着目します.そして表の,他の内容と合うようにするなら,60をかけられる数*1,0.4をかける数に対応づけるのが自然です.
「0.4時間は,何分ですか.」をもとにすると,乗除算の問題文は,次のように書くことができます.
- Multiplication problem:1時間は,60分です.0.4時間は,何分ですか.
- Division (by multiplier):0.4時間は,24分です.1時間は,何分ですか.
- Division (by multiplicand):1時間は,60分です.24分は,何時間ですか.
Greerの表にはかけ算・わり算の式はこうだと明記されていませんが,上の2番目の文章題から,24÷0.4=60と書くことができ,0.4が,multiplier=かける数です.また3番目の文章題は,24÷60=0.24という式になり,60が,multiplicand=かけられる数です.
ここから,Greerの文献を離れた考察をします.3つの文章題を書きましたが,2番目の「0.4時間は,24分です.1時間は,何分ですか.」には違和感があります.「1時間は何分かなんて,60分だよ,『0.4時間は,24分です』は,いらないよ」とツッコめるのです.
算数でそんな問題を出すわけにいかないからと,取り除いたら,「0.4時間は,何分ですか.」のタイプと「24分は,何時間ですか.」のタイプが,時間・分の相互換算の問題として考えられます.実質的に,1つのかけ算に1つのわり算という関係になります.
このことは,「分を60で割ると時間」「時間に60をかけると分」---「60に時間をかけると分」ではなく---という公式に至る理由となるようにも思います.
本日の記事を書こうと思ったきっかけは:
乗法ではかえって同一単位の量どうしの積の意味が薄いようです.縦の長さ×横の長さ=長方形の面積 といった公式も,縦の長さ(側長)と横の長さ(幅)を別種の量と見て,その積によって面積(という新しい量)を定義する,とでも考えたほうが理解しやすいかもしれません.単位の換算も,Aの単位=BのC単位*2 という換算率が明確なら,A,Bそれぞれで測った量a,bに対し,a=b×cという公式で換算できます.第3章で述べる分数も「単位の換算」という一面があります.教育上ではこの種の自由な発想・解釈を許容すべきです.
(『数の世界 (サイエンス・パレット)』p.41)
それと,http://togetter.com/li/742591のコメントにも「単位の換算」のやりとりがあります(takehikomの名前でコメントしています).
- 90 https://www.google.co.jp/
- 27 http://www.google.co.jp/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CB8QFjAA&url=http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20130731/1375276500&ei=pYHeVNS0OujHmAX7o4CgBw&usg=AFQjCNFB7v_GKv46CjZn_qwa5E-huHCLZA&bvm=bv.85970519,d.dGY
- 12 http://www.google.co.jp/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CCIQFjAB&url=http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20150109/1420750773&ei=QKbeVInsJ-PamAWq1YL4Cg&usg=AFQjCNGIP7lA7iBBJW9nI7hVH1QAH-lxGg&sig2=CfQActSBk0GJcYxxV4dOVw&bvm=bv.85970519
- 12 http://www.google.co.jp/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&ved=0CCsQFjAC&url=http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110223/1298409862&ei=VZbeVK3wIqe8mAXJiIFI&usg=AFQjCNGjD3BjFIvdXT2hOe5U_gs1brIxcQ&bvm=bv.85970519,d.dGY
- 9 http://www.google.co.jp/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=1&ved=0CCUQFjAA&url=http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20131005/1380898800&ei=M9PeVOafB4zM8gXpt4Io&usg=AFQjCNEPDWrOb3VSW9-jpAYoTJvUrXdyYQ&bvm=bv.85970519,d.dGc
- 6 http://www.google.co.jp/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&ved=0CDYQFjAE&url=http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20140502/1398956400&ei=dbjeVK_HNqahmgXs4IKoCQ&usg=AFQjCNGgMX-8V8s_tbMh4Y3VKJL_iLZXKA&bvm=bv.85970519,d.dGY
- 6 http://www.google.co.jp/url?url=http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20090327/1238101551&rct=j&q=&esrc=s&sa=U&ei=CKjeVMPRNMLMmAWm0YBg&ved=0CBQQFjAA&usg=AFQjCNGr7Eu_jAk8E_Nx1sAilf3VBWfkKQ
- 4 http://t.co/uYkHLPFDTF
- 4 http://www.google.co.jp/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CDIQFjAD&url=http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20140121/1390253708&ei=KajeVN7VLYXQmwXN9YKADQ&usg=AFQjCNGc2fMrHxva5xSKO_AfdDB6yUyo_Q
- 4 http://www.google.co.jp/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&ved=0CEAQFjAF&url=http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20080211/1202681618&ei=9PTeVMOpBc3f8AX8vYH4AQ&usg=AFQjCNF0RDrdPwuZ0w_lQQHw3DOutvQkBQ