直流モーターは電圧を上げるとなぜ早く回転するのですか？

大変良い質問だと思います。
誰しも半ば「当然のこと」と思っていることでしょうが、実は直流回転機の本質がここにあります。
以下、直流電動機を単にモーター、直流発電機を発電機と呼称します。
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回答：準備

モーター、発電機の構造と原理は 小中学校で出てくるので 理解されているという前提で話をすすめます。
話を簡単にする為に、模型用の小型モーターを考えましょう。界磁は永久磁石です。

さて、ここで考えてみて下さい。
問１）・無負荷で回すとき、電源電圧が一定なら、無負荷にも係わらず回転数が頭打ちで落ち着いてしまうのは何故？

いくつかあげられますね。
・回転が速くなると電機子が空気から抵抗を受ける。その抵抗は回転が速いほど大きいから、回転数は一定値より上がらない。
・軸受けやブラシなどの機械的摩擦があり、その摩擦力は回転が‥（以下同文）
・電機子には低いながらも電気抵抗があるため。
もし、貴方が電気科の学生なら、この３つのいずれかを答えた時点で留年決定です。
いかにも、もっともらしい理由ですが 実は全て間違いです。驚かないで下さいネ。

もうひとつ、お付き合いください。
問２）・発電機について、正しい記述はどれか？
・ア） 同一の発電機では、回転数が高いほど発電電圧は高い。
・イ） 回転数が同じなら、界磁が強いほど発電電圧は高い。
・ウ） 同一の発電機で回転数が同じなら、水車で回しても人力で回しても、発電電圧は同じ。（笑）

ご安心下さい。貴方の答えは（多分）正解です。「全て正しい」です。
これで準備が整いました。
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回答：本編

ところで、モーターは、そのまま発電機になる。ということをご存知かと思います。小中学校では実験もするとか。
「フレミングの右手」は発電機、「フレミングの左手」はモーターでしたね。
「～右手」ですが、導体の移動の原因、「何が導体を動かしているのか」・「導体はどういう事情で動かされているのか」については 一言も言及されていないことに気付いていますか？実は一言も触れていません。
「～右手」は導体が移動さえしていれば成立し、移動の原因は知ったコッチャない！なのですよ。（問２のウ？）

回転しているモーターでは、電機子コイルは界磁の作る磁界の中を移動しています。従って界磁の強さと移動速度に見合う電圧が電機子コイルに発生します。上の『「～右手」は‥‥知ったコッチャない！』なのですから。
つまり、回っているモーターは
『モーターのくせに発電してやがる！』
しかも、「～右手」と「～左手」の関係からわかるように、
『電源に逆らう向きで発電してやがる！』
なわけです。ここがポイント、すごく重要です。
この発電電圧のことをモーターの逆起電力または単に逆起電力といいます。逆らう向きなので、わざわざ「逆」の文字をつけます。

もし、モーターの逆起電力が電源電圧と等しくなったら？
モーターへの電流の流れ込みは無くなり、電機子は界磁から力を受けなくなります。回転数はそれ以上あがりません。
問１の答えが出ました。
『発生する逆起電力が電源電圧に等しくなるから』

では、電源電圧を高くしたら？
逆起電力が電源電圧よりも低いあいだは、モーターに電流が流れ込み電機子は界磁から力を受けます。力を受けるということは加速されるということです。より高い電源電圧に対抗するだけの逆起電力をつくるまで、力は続き、加速され続けます。
より高い逆起電力を作るためには‥‥。貴方は知っている。問２のアです。

貴方の質問の答えが出ました。
『電源電圧を高くすると、それに見合う逆起電力を発生させるため高速回転となる』
です。
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おまけ：

専門分野では、逆起電力Eを
E＝Kφｎ
ｎ‥回転数、φ‥界磁の強さ、K‥比例定数
で表しますが、これは問２と同じ意味です。ウは除きますが。

また、機械損（風や音による損失）、銅損（銅線のジュール熱による損失）、鉄損（磁気材料による損失）を無視すれば、電源電圧をV、電機子の電気抵抗をｒとして、モーターに流れ込む電流Iは
I＝（V－E）／ｒ
となります。

一般にｒは非常に小さい値です。
電源投入時は、ｎ＝０なのでE=０です。従ってIは大電流となります。
ｎの上昇に従ってEも増大するので、Iは漸次減少し、E＝V となった時点で、I＝０となり トルクも発生しなくなります。このときのｎがVにおける無負荷回転数です。

Eの発生、ｎの上昇に伴いIが減少する事を言わないと、０以外のどんな電源電圧でもモーターの無負荷回転数は無限大！という困った事態になってしまいます。（人類の未来の為にはその方が喜ばしいが）

実負荷での理屈は少しだけややこしくなりますが、基本は同じです。