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（鐘の音）私たちの通う大学のあるイギリス南東部の都市…英語圏では最も古い９００年の歴史を持つオックスフォード大学は特定のキャンパスを持たない事でも知られます。
市内４０か所以上に散らばる由緒ある校舎を行き来しながら私たちは学んでいます。
いわば街全体がキャンパスなのです。
（拍手）オックスフォード大学には政治や経済のリーダーを目指す優秀な仲間が世界中から集まります。
現職のキャメロン首相をはじめ歴代のイギリスの首相２６人を輩出。
卒業生たちは文学や科学などさまざまなジャンルで歴史に名を残しています。
世界を変えるような新たな発見や発想を追い求め僕たちも日々その探究に挑んでいます。
この大学に抜群の知名度でイギリス中に知られる数学者がいます。
専門研究での成果や教育普及活動など数学界への高い貢献が認められ２０１０年には「大英帝国勲章」が贈られました。
デュ・ソートイ教授は今回番組のために地元の市民も招いた全４回の特別講義を行いました。
不思議に満ちた数学の世界を身近な切り口と豊富なエピソードでひもといていきます。
今回テーマに選んだのは…そして数学が教える…時には超難解な理論も登場しますがデュ・ソートイ教授が楽しく理解へと導いてくれます。
今日の講義で取り上げるのは…美しいシンメトリーは物理や生物など科学の分野あるいは芸術においても頻繁に登場します。
でも数学における「シンメトリー」とは何でしょう？フランスの若き数学者ガロアが編み出したシンメトリーという概念を使えばこの世界が全く違って見えてくるはずです。

（拍手）
（銃声）１８３２年５月３０日の朝。
パリ１３区に銃声が響き渡った。
市場へと向かっていた市民が慌てて銃声のあった場所へ駆けつけるとそこには決闘に敗れもがき苦しむ若い男が倒れていた。
その男の名はエヴァリスト・ガロア。
当時パリではよく知られた革命家だった。
ガロアは近くの病院へと運ばれたが翌朝には弟・アルフレッドの腕の中で息を引き取った。
彼の最期の言葉はこうだった。
「泣かないでアルフレッド。
二十歳で死ぬにはありったけの勇気が必要だ」。
この朝の決闘の理由は定かではない。
恋敵と決着をつけるためのものだとも体制側による革命派の粛清だという説もある。
あるいはパリに革命の火をつけようと自らの死を演出したという説まである。
きっと真相はこのまま誰にも分からないだろう。
でもこの若者が歴史に名を残す事になったのは革命家としてではなかった。
事件の数年前彼がまだ学生だった頃ガロアは数学における重要な問題を解いたのだった。
彼はパリの科学アカデミーに出向き自分の革新的な発見を説明しようとしたが誰も彼を理解できなかった。
ガロアの数学のメモがこんな感じだったのがいけなかったのかもしれない。
決闘の前の晩彼はこれが自分の数学の発見を世に残す最後のチャンスになるかもしれないと気付いた。
そこで数学における大きなブレークスルーになるであろう自分の発見をまとめ始めた。
そして書き続けるままに夜が明け彼は運命の朝を迎えたのだった。
決闘に負けたのはひょっとすると前の晩に数学で徹夜してしまったからかもしれないね。
ガロアが残した原稿は私が研究する数学の分野において最も重要な書物の一つだとされているものだ。
そこには私たちが数学や化学を理解するための新しい言語「シンメトリー」つまり「対称性」の概念について書かれていた。
彼が発明したこの数学の新しいジャンルは「群論」と呼ばれる。
ガロアが若干二十歳にして編み出したこのいわば新しい数学の言語は現在の私の研究に欠かせないもので私は彼の発見を使って世界を数学で解き明かそうとしているのだ。
ガロアは若い頃から数学者になりたいと思っていたようだが私は違った。
数学者になりたいなんて思わなかった。
私の少年時代の夢はスパイになる事だった。
実は私の母は外務省に勤めていて彼女は本当はスパイなんだと私が思っていたのが理由なんだが。
とにかく私はこのオックスフォードの近くの公立学校へと進んだ。
将来外務省に入るためにはまず外国語を学ばなきゃと思って手当たりしだい語学の授業を受けてみる事にした。
フランス語ラテン語ドイツ語。
テレビではロシア語講座もやっていたので「これはスパイには絶対必要だ！」と思ってロシア語も学ぶ事にした。
年がばれるが当時は冷戦の時代だったからスパイには絶対ロシア語が必要だと思ったんだ。
でもこれらの言語を学びながら私はどんどんイライラしていった。
丸暗記するしかない事が多すぎたんだ。
全く論理性やパターンのない不規則動詞とかだ。
ロシア語は本当に最低だった。
「こんにちは」すらまともに言えなかった。
子音が山ほどあるのに母音がない。
（ロシア語風の発音）…みたいな発音なんだ。
講座の名前だって分からなかった。
そんなある日確か１２歳か１３歳の頃数学の先生に「デュ・ソートイ君授業後にちょっと来なさい」と言われたんだ。
私は「まずい叱られる」と思った。
でも授業後先生の所に行くと彼は「デュ・ソートイ君もそろそろ数学が本当はどういうものなのか知ってもいいころだ。
掛け算や割合を計算するだけのものとは違うんだ。
もっとエキサイティングな世界があるんだよ」と言って数学の世界を知るためのいくつかの本を薦めてくれた。
そうして先生がくれたリストを持ってその週末に父親と一緒にオックスフォードにある本屋に行ったんだ。
そこで買った本の中で一番私の心を捉えたのは「数学の言葉」という本だった。
実はそのとき買った本を私は今でも持っている。
たった１．７５ポンドだった。
そんな値段でこんな価値のある本が買えたのは驚きだ。
私はとにかくこの本に夢中になった。
それまで数学が何かの「言葉」だなんて考えた事もなかった。
でもこの本を読んで納得した。
数学は私たちがどこから来てどこに行くのかという世界の秘密を解き明かす手助けをしてくれるすばらしい言語なんだ。
数学には不規則動詞なんてない。
これこそ理にかなった言語だと私は思った。
もちろん予想外な驚きもたくさんあったがそれこそ数学の面白みの一つでもあった。
一旦謎が解明されれば完全に理屈が通る事ばかりだ。
私がこの本で夢中になったものこそガロアが編み出した新しい数学の言葉「シンメトリー」であり「群論」と呼ばれるものだった。
シンメトリーつまり対称性とはある意味それ自身独自の言語だ。
自然が情報を伝え合うためにもこの言語は使われる。
自然において何かがシンメトリーを持つ時その中にはメッセージが込められている。
例えば庭の花に集まる蜂がいるが蜂の視力は恐ろしく限定的だ。
蜂は距離や色といったものをちゃんと認識できない。
しかしバランスの整ったシンメトリーの形は認識する。
花が美しいシンメトリーの形をしていてその中に蜜を蓄えている事は分かるんだ。
面白い事に花にとっても花粉を広めるためには蜂に来てもらう必要がある。
だから花が対称性のある形をしているのは蜂たちを招き寄せるためとも言えるんだ。
花の形がより美しいシンメトリーであるほど中の蜜が甘いという研究結果もあるようだ。
私たちも恋人やパートナーを選ぶ時に無意識にシンメトリーを利用している。
上の写真はそのまま普通に撮ったもの。
下はそれをシンメトリーに加工したものだ。
もし「どちらが美しいか？」と尋ねたらほとんどの人が左右対称のシンメトリーになっている下の写真を選ぶ。
なぜだろう？なぜシンメトリーは美しさと関連づけられるのか？対称性はある種の遺伝的特徴や育ちや条件などの情報を伝達していると考えられている。
ではシンメトリー対称性の世界の探究を始めるとしよう。
１９世紀初頭にガロアがこの言語を作り出した。
でも私たちは何千年もの間シンメトリーというものを理解し表現しようとしてきた。
例えばそれは大英博物館に所蔵される人類が最初に作り出したゲームにも見る事ができる。
これは紀元前２６００年ごろのゲームで人類史上恐らく最初のサイコロを使ったものだ。
興味深いのはこのころのサイコロは今のような立方体ではなく三角形を組み合わせた４面体になっていた。
美しいシンメトリーな形だ。
実はこれより昔はサイコロの代わりに羊の骨を使っていたらしい。
でも形が整っていないため目の出方に偏りが出てしまった。
だから人々は公平なサイコロつまり出る目に偏りがないサイコロを作るには対称性シンメトリーが重要だと気付いたんだ。
やがて羊の骨は表面が削られて４つの正三角形から成る４面体のサイコロに作り変えられた。
面白いのはこのサイコロは投げるととんがっている部分が上を向く。
だからこのサイコロは１つの角を黒く塗りいくつかを同時に投げた。
それで上を向いた黒い角の数を数えてゲームが進行するというわけだ。
シンメトリーつまり対称性を持った形についての分析が登場するには古代ギリシャまで待たなければならない。
それはユークリッドの「原論」に見つける事ができる。
この偉大な本にはサイコロというものはたった５種類の形状でしか作れないという証明が載っている。
サイコロは全く同じ形の面を持ち均等にバランスのとれたシンメトリーを持っていなくてはいけない。
その場合５通りの立体しかありえないというわけだ。
プラトンはシンメトリーを極めて重要だと信じこの５つの形をこの世界の構成要素だと考えた。
プラトンは数学こそが自然界全体の基礎にあると考えたんだ。
だからこれらの立体がそれぞれ自然の元素を表していると考えた。
古代ギリシャにおける元素とはもちろん酸素とか水素とかではなく火や土空気や水といったものだった。
まず正４面体は火を表した。
この中で一番とがっているように見えるのでこれが火だ。
最も安定した形に見える立方体は大地土を表した。
そして正三角形を８つ組み合わせた正８面体。
これは空気を表した。
２０枚の正三角形を合わせると正２０面体を作る事ができる。
これは５つのうちで最も球に近い形だから水を表すと考えた。
残った一つは１２枚の正五角形からなる正１２面体。
この美しい形は宇宙全体を表すと考えた。
古代ギリシャでは宇宙はガラスの球体のような形だと信じられていた。
周囲に星が描かれているこうした１２面体の真ん中に私たちはいると考えられたわけだ。
もちろん現代の観点からするとプラトンが行ったこれらの立体の分類は突拍子もないように見える。
でもプラトンは対称性について深い何かを理解していた。
確かにある種のシンメトリーが自然の根幹に存在しているのだ。
化学においては分子がシンメトリーを持つように結合する事を研究者は知っている。
例えば結晶の構造はシンメトリーの特徴を持つ事が多い。
あるいは生物学者もシンメトリーに関わる研究をしている。
もっとも生物学ではシンメトリーはあまり目にしたくないかもしれない。
なぜならヘルペスやエイズなどウイルスはシンメトリーな対称性を持った構造をしているからだ。
ウイルスはシンメトリーがとても単純な規則を持つ事を利用している。
あまり複雑な構造ではないんだ。
シンメトリーのある対称な形というのは少ない情報で作り上げる事ができるのでウイルスはその性質を利用しているのではないかと思う。
私たちはシンメトリーを理解する事でウイルスの振る舞いを理解し始めているのだ。
シンメトリーは科学の世界だけでなく文化や芸術でも頻繁に登場する。
例えばトーマス・マンは「魔の山」の中で雪の結晶のシンメトリーについてこのように描写している。
芸術家にとってシンメトリーは何か不安を誘うようなものなのかもしれない。
とても運命的で宿命のようなもの。
トーマス・マンによれば生命やエネルギーを感じさせないようなもの。
あるいは逆にシンメトリーに夢中になる芸術家もいる。
シンメトリーと数学をうまく利用している芸術の一つが音楽だと思う。
特にバッハの音楽。
例えば「ゴールドベルク変奏曲」はまるでシンメトリーのための曲のように聞こえる。
ちょっとその曲を聴いてみよう。
曲はとても単純なアリアで始まる。
そして３０通りの変奏を経てまた最初のアリアを繰り返す。
つまり循環する円のように両端がつなぎ合わされているんだ。
「第１６変奏」をバッハは「序曲」と名付けているが通常それは「楽曲の初め」という事だ。
このようにこの曲はどこが始まりでどこが終わりなのかよく分からない。
ずっと循環しているかのようだ。
そして変奏は３つごとにカノンになっている。
カノンとは例えばクラスの半分が歌い始めてそれから少し遅れて残りの半分が入ってくるというやつだ。
同じ旋律が少しタイミングをずらして流れる事で美しい相互作用を得る事ができる。
バッハに限らず変奏曲の多くはメロディーを鏡映しのように対称的に使ったり回転させたりする。
だから音楽という芸術においてシンメトリーはしばしば登場する。
シンメトリーがよく使われる芸術としては建築もある。
例えばエジプトのピラミッド。
ピラミッドは砂の中に半分が埋もれた正８面体のようにも見える。
あるいは現代のイスラエルに行けばプラトンが宇宙の形と関連づけた正１２面体に似た驚くべきアパートを見る事ができる。
ぴったり合う家具を見つけるのは至難の業らしい。
私は黒川教授という日本の数学者と懇意にしていて彼とシンメトリーについての研究をしによく出かけた。
ある時黒川教授は私を日光に連れていってくれた。
美しい神社やお寺がある場所だ。
そこは至る所にシンメトリーがあふれていて建物にも対称性を持ったパターンが隠されている。
この写真を撮ったあと私たちは階段を上っていった。
そこにはシンメトリーのデザインで飾られた美しい柱が立ち並んでいたが１本だけ模様が逆さまになっていたんだ。
私は「なんて事だ！間違えて逆さまに付けてしまったんですね」と黒川教授に言った。
すると彼は「違う違う。
これはわざとだ。
日本人は調和をあえて乱すやり方を好むんだ」と教えてくれた。
そして彼は１４世紀に書かれた「徒然草」を紹介してくれた。
黒川教授は特にこの部分を薦めてくれた。
バッハにしても「ゴールドベルク変奏曲」はシンメトリーにあふれているが「第３０変奏」にたどりついた時バッハも同じ手で予想を裏切る。
あの柱のように曲を真っ逆さまにしてしまう。
これは作曲上の工夫で前後の構造とは全く関係ない。
君たちは驚いて耳を疑いその時これまでにいかに多くのシンメトリーが使われていたかに気付くだろう。
そこにバッハの工夫を面白く味わう事ができるんだ。
もし私が生涯ある一か所でしか暮らしてはいけないと言われたらシンメトリーの研究者としてきっとグラナダにあるアルハンブラ宮殿を選ぶと思う。
アルハンブラはまるでシンメトリーの美しさを記念して建てられた宮殿のようだ。
対称性であふれかえっていて特に注目すべきはその壁だ。
至る所にシンメトリーなタイルの模様が使われている。
建築家たちは思いつく限りのさまざまなシンメトリーの組み合わせをここに試した。
アルハンブラ宮殿はまさにシンメトリーについての根幹的な問いをするのにふさわしい場所だ。
何かがシンメトリーであるとはどういう事だろう？２つのものが…こうした問いを探るうちに私たちはあの若くして死んだフランスの数学者ガロアの足跡をたどる事になる。
多くの人にとってシンメトリーは左右対称とか鏡に映した形という程度の意味のものだろう。
でもガロアはそこにはるかに深い意味合いを見つけたのだった。
初めにシンメトリーはこのようなものだと考えてほしい。
シンメトリーは…私はこれを「魔法の動かし方」と呼んでいる。
例えばこの４面体はどんなシンメトリーを持つか考えてみよう。
この４面体を動かした時最初と同じに見えるような動かし方にはどんなものがあるだろうか？例えばこれを持ち上げてこうする。
すると動かす前と全く同じ状態に見えるだろう。
これがシンメトリーの一つの例だ。
例えば全員目を閉じてみて。
目を閉じてる間に私がこの立体に何らかの動きを与えたとする。
でも目を開けてもまるで動いていないかのように見える。
何の変化もなく全く同じに見える。
これがシンメトリーだ。
動かす前と全く同じに見える動かし方というわけだ。
ではアルハンブラ宮殿の壁に戻りシンメトリーの探索を始めてみよう。
例えばこの壁の模様。
この中のシンメトリーを見つけてみよう。
この点を軸にしてタイルを持ち上げ９０度回転させてから元に戻したとしよう。
するとタイルの模様は動かす前と同じだ。
これはシンメトリーだ。
分かりやすくするため２つの単純な形に置き換えて考えてみよう。
この２つの形のシンメトリーを数えてみよう。
三角形と６本の腕を持ったヒトデのような形だ。
まずはヒトデ形から。
いいかい？シンメトリーとは動かしたあとも元のままに見えるような動かし方の事だ。
分かりやすいように黄色の点を置こう。
まずは回転をさせる。
これは元と同じに見える。
だからこれは１つ目のシンメトリーだ。
ではつまり1/3回転させよう。
これが２つ目のシンメトリー。
つまり半回転させる事もできる。
点はＤに移る。
これが３つ目のシンメトリー。
つまり回転させると４つ目のシンメトリー。
最後にぐるっと回ってこれが５つ目のシンメトリー。
元の形に見える動かし方は５通り確認できた。
実は６個目もあるんだが分かる人はいるかな？はいそこの人。
そう正解だ。
それは元に置いたままと同じ事だよね。
つまり６個目のシンメトリーはただ持ち上げて元の位置に戻すだけだ。
「でもそんなの意味がない」と言う人もいるかもしれない。
でもこれは「ゼロ」のようなものだ。
ゼロというのは初期の数学者にとっても捉えづらい概念だった。
何も数えていない事と同じように見えるからだ。
でもこう考えてほしい。
これはゼロ番目のシンメトリーだ。
たとえ君の顔がシンメトリーから程遠い作りだとしても１つはシンメトリーがあると言えるという事だ。
というわけでこの形は６個のシンメトリーを持つ。
このような数え方を決めた事がガロアの功績だ。
ちなみにこの形はひっくり返す事はできない。
６個目のシンメトリーとして裏返す動かし方を思いついた人もいるかもしれないがヒトデの腕の向きが逆になってしまうからこの場合は駄目だ。
しかし三角形はどうだろう？まず３角形には２つの回転シンメトリーがある。
時計周りに1/3回転。
あるいは逆方向に1/3回転できる。
でも三角形には３つの鏡映いわば鏡映しのシンメトリーもある。
三角形を持ち上げてひっくり返す３通りのやり方だ。
点「Ｘ」をそのままにしてひっくり返す。
あるいは点「Ｙ」をそのままにしてひっくり返す。
もしくは点「Ｚ」をそのままにだ。
これで５個のシンメトリーが確認できた。
２つの回転シンメトリーと３つの鏡映シンメトリー。
更にそのまま持ち上げて戻すゼロのような６個目のシンメトリーもある。
するとこの２つの形は…では数が同じなら同じシンメトリーを持つ形同士だと言えるのだろうか。
実はこの２つがそれぞれ全く異なるシンメトリーを持つ形だという事をこれから見ていきたい。
ガロアの功績はたくさんあるがシンメトリーを動きと関係づけた事は重要だった。
かつてトーマス・マンはシンメトリーの雪の結晶を死んだような動かないものに例えた。
しかしガロアは違った。
「シンメトリーはいくつもの動きから成るものだと考えなければならない」と考えた。
ガロアの更なる功績は「一つ一つのシンメトリーよりもお互いの関係が重要だ」と気付いた事だった。
つまりこういう事だ。
ある動かし方をしてからまた別の動きを加える。
するとその結果はある別の動かし方３つ目の動かし方と同じになるという事だ。
このように動かし方には関連性があり動かし方を組み合わせて考える事ができる。
ガロアは更に考えた。
「では各々のシンメトリー同士の関係性はどんなものだろう？」と。
ヒトデ形は６個のシンメトリーを持つ。
それぞれはどういう関係にあるのだろう？シンメトリーを組み合わせるとどんな別のシンメトリーに置き換わるのだろうか。
まずは回転をしたあとに1/3回転をさせるとどうなるかを見てみよう。
まずは回転それから1/3回転を合わせる。
すると２つが足された結果は1/2回転と同じになる。
このように置き換える事ができる。
２つのシンメトリーを足すと第３のシンメトリーが得られるという事は数式で表せるんだ。
では順序を変えてやったらどうなるか。
最初に1/3回転させてそれから回転させても実は結果は同じだ。
だからこの場合…ところが三角形だと話は違ってくる。
まず1/3回転させる。
それから点「Ｘ」をそのままにひっくり返すとこのような状態になる。
ところが順序を逆にしてまず点「Ｘ」をそのままにひっくり返しそのあとで1/3回転させると三角形の頂点の位置が変わってしまう。
つまりこの場合は…この考え方を利用すればヒトデ形のシンメトリーと三角形のシンメトリーが本質的に違うものだと分類できるわけだ。
ガロアが追い求めたのはこうしたシンメトリーの違いを見分けるルールだった。
ガロアによればシンメトリーを６個持つ形はヒトデ形のようなシンメトリーを持つかあるいは三角形のようなシンメトリーかのいずれかしかない。
６通りの動かし方を持つ第３のシンメトリーを持つ形はないという事を証明したんだ。
このようにガロアはシンメトリーを区別するルールを見いだした。
それは例えばアルハンブラ宮殿に描かれたシンメトリーの理解にも役立った。
私たちがガロアの言語で理解できるようになったのは１９世紀の終わりだ。
例えばこの２つの壁の模様はとても違って見える。
一つは変形した三角形が並びもう一つは星とＺ形が組み合わされているようだ。
ところがガロアの言語によるとこの２つは同じシンメトリーのグループであると言える。
それをちょっと見てみよう。
「魔法の動かし方」の登場だ。
まず回転させられる点に注目しよう。
模様の色は無視して見てくれ。
この赤い点を中心に回転させる。
これが１つ目のシンメトリーだ。
もう一つの動かし方は「３」と書かれた点で1/3回転させるやり方だ。
するとお互いに重なり合う。
更に少し見つけるのが難しいがこの「２」とかかれた点を中心に半回転させる。
すると模様が入れ替わり色がついていた場所とついていなかった場所が逆転する。
これが３つ目の動かし方。
この模様で可能なシンメトリーの全てだ。
ではもう１枚の方も見てみよう。
果たして同じ動かし方が可能だろうか？まず星形の真ん中に回転できる点がある。
同じように1/3回転できる点もある。
この「３」と書かれている点だ。
それからまた「２」という点を中心に半回転させる事ができる。
見た目は全く違った模様でもガロアのシンメトリーの言語を使うと２つが全く同じものである事を表現できる。
ガロアが編み出した考えは例えば数の概念と同様に捉える事ができるだろう。
数の概念も実はとても抽象的だ。
例えばここに座っている３人の人とそれぞれの椅子について考えてみよう。
人間と椅子はだいぶ違う物体だがこの「３」という抽象的な概念によって両者は同じ事を表している。
シンメトリーも実は同じだ。
先ほどの２種類の壁の模様も全く違うものだが同じシンメトリーを違った形で表しているというふうに捉える事ができる。
この３つの模様を見てほしい。
一つはアルハンブラ宮殿の入り口もう一つは床もう一つは天井の模様だ。
見た目はだいぶ違うが全て同じ「４４２」と呼ばれるシンメトリーだ。
断っておくがサッカーのフォーメーションとは関係ない。
それぞれの場所で3/3回転3/3回転1/2回転できるという事を表している。
ガロアが発見したこの見分け方によってたとえ見た目が全然違っていても同じシンメトリーを基礎に持つ事がある事が明らかになった。
１９世紀の終わりにはアルハンブラ宮殿の壁には全部で１７種類のパターンのシンメトリーが使われている事が判明した。
驚くべき事に現代の数学を用いて検証した結果２次元の壁で表現できる全てのパターンが既にアルハンブラにはあった。
私が休暇を利用してこうした事を実際に確かめようとするので家族は嫌がるんだが子供たちをアルハンブラに連れていき１７種類の壁を探させた事があった。
ほとんど見つける事ができたが最後の１つだけは青いタイルを黒に塗る必要があったので見つけづらかった。
もちろん本当に黒に塗ったわけじゃないけど。
でも改めて驚かされるのは当時の建築家たちが数学者たちよりも先を行っていた事だ。
しかしこのシンメトリーの世界を明確に規定するには後の数学を待たねばならなかった。
ガロアは更にあらゆるシンメトリーはいわば原子のように分ける事ができシンメトリーの元素周期表のようなものが作れる事に気付いた。
これは本当に驚くべき事だ。
ガロアが若干二十歳にしてこんなにもたくさんのすばらしいアイデアを思いついた事に驚愕せずにはいられない。
ガロアはシンメトリーがいわば物質のように原子とも言えるものに分解できる事を示したんだ。
例えばこのような十五角形があるとする。
この十五角形が持つシンメトリーの数え方はもう分かるね？ところがこの十五角形のシンメトリーは２つの別の形のシンメトリーから作る事ができる。
この中に収まる正五角形と正三角形だ。
十五角形のシンメトリーは五角形のシンメトリーと三角形のシンメトリーから作り出す事ができるんだ。
例えば十五角形を回転させる場合を考えよう。
ポイントは１５という数が３と５という素数に分解できる事だ。
回転させるためには緑の点を黄色の点に移動させればよい。
単純に十五角形を回転させる以外に三角形のシンメトリーと五角形のシンメトリーを使って表す事ができる。
まず五角形のシンメトリーに注目して回転させる。
次に三角形のシンメトリーに注目し反時計回りに1/3回転させる。
この２つの動きを組み合わせると結果は回転と同じになる。
この考え方がシンメトリーを理解する基礎となる。
どんなシンメトリーの形をとってみてもそれより小さな複数のシンメトリーから作り出す事ができる。
このような２次元の形の場合はシンメトリーの素数とでも言えるものに分解できる。
例えば百五角形のシンメトリーは三角形五角形七角形のシンメトリーから作る事ができる。
ガロアのこの発見がシンメトリーの周期表のようなものを作るというアイデアを数学者に与えてくれた。
それから１５０年の間数学者はシンメトリーの基礎単位のようなものを見つけようと研究を重ねてきた。
そして１９８０年代に入りようやくシンメトリーの周期表の完成と思えるような成果があった。
その周期表の中には全く信じられないような物体も入っていた。
そのシンメトリーの物体は理論上…しかしそんなものを物理的に作り出す事は不可能だ。
これは奇妙に入り組んだ雪の結晶のようなものをイメージしてもらえばいいだろう。
この雪の結晶は途方もない高次元空間とそのシンメトリーの中にしか存在しない。
通称「モンスター」と呼ばれている。
太陽にある原子の数よりも多くのシンメトリーを持っている。
ところがこの物体はそれより小さなシンメトリーに分解する事ができない事が証明されているんだ。
この物体はどんな部分にも分けられない。
高次元空間に突如現れる奇妙な物体なんだ。
「でも一体数学者はどうやって？」と君は思うだろう。
「１９万６，８８３次元の物体とはどういう意味なんだ？数学者はどうやってそんなものを扱うんだ？」と。
しかしこれこそ数学という言語がいかにすばらしいかを物語っている。
「座標」というものを学校で習った事があるだろう。
デカルトは座標を使って見る事さえできない高次元のものを数学的に「見る」事を可能にしてくれた。
座標というものはすばらしい言語だ。
私たちが目にしている「形」の世界を「数」の世界へと翻訳してくれる。
例えば２次元の正方形という形を数字に変換したければその座標をこのようにとればいい。
どこかを原点としてそこを
（０，０）とする。
そこから水平方向に進んだ点を
（１，０）。
垂直方向を
（０，１）。
そして水平垂直両方に１つずつ進んだ先が
（１，１）。
つまり正方形をこのような座標の数字に置き換える事でこの形を表す事ができる。
では３次元ではどうなるだろう？このように立方体を数字に置き換える事もできる。
すると８個の座標で表せる。
最初に１か所を
（０，０，０）とする。
３つの数字で表し
（１，０，０）。
（０，１，０）
（０，０，１）から全部が１になる
（１，１，１）までをとればよい。
では４次元の超立方体ではどうか？ここからが数学の真骨頂だ。
目に見える表現方法は３次元までが限界。
４次元のサイコロを実際に作るのは難しいがそれがどういうものか数字で表現する事はできる。
それはまず
（０，０，０，０）という点を原点として
（１，０，０，０）
（０，１，０，０）
（０，０，１，０）そして
（０，０，０，１）の点へと向かう辺がある。
この要領で続けていき
（１，１，１，１）の点にたどりつくまで１つずつ進めていけばよい。
この４次元の立体には頂点はいくつあるだろう？そう１６個だ。
０と１の組み合わせの合計を求めれば分かる。
１６だ。
辺がいくつあるかも同じやり方で求める事ができる。
座標という言語を使えば目に見えないものでも扱う事ができる。
だから４次元のシンメトリーだって数学者たちは探究できるというわけだ。
実はこの４次元の形のいわば影を見せてくれるものがある。
場所はパリだ。
新凱旋門は４次元の立方体の影を３次元の世界に投射したようなものなんだ。
例えば３次元の立方体を２次元の紙に描く時には正方形の中に小さな正方形を描きその頂点を結ぶ。
そうすると奥行きが表現され立体的に見える。
同じ考えで４次元の超立方体を３次元に映すと大きな立方体の中に小さな立方体が入った形になる。
例えばこんな模型もある。
３次元の中に４次元を表現しようとしているものだ。
数えれば頂点も１６個ちゃんとありそれぞれに白い球体がつけてある。
辺の数だって求められる。
一つずつ数えてもいい。
ここに１２辺あってあとは２５２６２７２８３０３２。
そう３２辺だ。
でもこうした模型を作らなくても先ほどの座標の数字で求める事ができるわけだ。
そして１９万６，８８３次元を考える場合もはや形のイメージは役に立たない。
これだけの次元のシンメトリーを考えるには形を数に置き換えて考える「数学」という言語に頼らざるをえない。
しかしそれでも多くの数学者にとってこれだけの超高次元のシンメトリーを探るのは簡単な事ではない。
シンメトリーの体系化に功績を残したこの世界の重鎮が…彼のグループはすばらしい本をまとめた。
シンメトリーの全ての基礎単位を記したいわばシンメトリーの周期表だ。
これが発表されたのは１９８５年で私もちょうど学位を取得して将来を模索していた時だった。
だからコンウェイ教授と研究グループに会いに行ったんだ。
このグループに参加したい事を伝えると彼が話し始めた。
「ここにいる私たちは全員シンメトリーの信者だ。
で君の名前は？」。
「マーカス・デュ・ソートイです」。
すると「では『デュ』は外してほしい」と彼は言った。
「なぜですか？フランス風の名前だと問題があるんですか？」と尋ねると「いやそうじゃない。
この本の著者はみんな苗字は６文字だ」。
「だから『Ｓａｕｔｏｙ』なら６文字でかまわないが『ｄｕ』は入れる余地がない」。
まあそれくらいの犠牲はしょうがないと思ったが教授は更に続けた。
「君のイニシャルは？」。
「はい『Ｍ．Ｐ．Ｆ．』です」。
「それもいかんな。
１つ諦めてくれ」。
「何でですか？」。
「ここは全員イニシャルは２文字だ」。
「では『Ｍ．Ｐ．』だけでいいです」と受け入れた。
でもそれで終わりじゃなかった。
このグループを作ったのがジョン・コンウェイ。
それから彼の博士課程の学生だったカーティスが加わりそして大学をブラブラしていたノートンという男。
彼が３人目。
そしてパーカー。
彼はコンピューター計算が得意だった。
最後に加わったのはウィルソン。
全員参加はアルファベット順だという事だ。
だからこのグループに加わるにはＳから始まる「ソートイ」ではなくてＺから始まる「ゾートイ」だったらいいだろうと言われた。
さすがにこの段階で「これはちょっと行き過ぎている」と私は諦める事にしたんだ。
オックスフォードに戻った私はシンメトリーの世界の独自の研究を始めたかったがひょっとするともう全ては解明され知るべき事は残されていないかもしれないと疑った。
しかしそんな事はなかった。
数学に終わりはない。
一つの問題が解かれるとそれは新たな挑戦の扉を開く。
例えば通称「モンスター」と呼ばれるこの奇妙な１９万６，８８３次元のシンメトリーの怪物もそうだ。
なぜ突然こんなものが現れるのだろう？この数字に何か特別な意味はあるのだろうか？そしてやはり意味はあるようだ。
なぜなら数学の全く別の分野においてもこの同じ数が出現するからだ。
それは「モジュラー関数」と呼ばれる「フェルマーの最終定理」の証明にも関わるものだ。
そして更なる高次元に出現するモンスターも存在しその数字もまた異分野の数学と奇妙につながっている。
このように常に研究は進んでいるがまだまだ未解決の謎が残されている。
このシンメトリーのモンスターの正体は何なのか？コンウェイ教授はこのモンスターの奇妙な数字をムーンシャイン「月の輝き」と呼んでいる。
モンスターとモジュラー関数が持つ数字を月の輝きに見立て月を光らせる太陽のような存在が背後にある事を示唆している。
そして実際コンウェイの教え子のリチャード・ボーチャーズが数学のノーベル賞ともいえるフィールズ賞を受賞したのはこの太陽をめぐるいくつもの鋭い発見をしたからだ。
でもコンウェイは自らまとめたシンメトリーの周期表に突如現れたモンスターについてまだまだ分からない事ばかりだと語っている。
私自身の話をすればシンメトリーの周期表が明らかになったとするとそれを使って新しいシンメトリーのグループを作る事はできないだろうかという研究をしている。
こうした研究をしながらシンメトリーの周期表に記された基礎単位から新しいシンメトリーを探し続けその過程で楕円曲線と呼ばれるものと関連する奇妙な新しいシンメトリーなどを発見してきた。
実は私が発見したシンメトリーでまだ名前を付けていないものがある。
これに自分の名前を付けるチャンスを君たちにあげよう。
証明書だってちゃんとある。
ほらここに君の名前を入れてあげるというわけだ。
そのかわりにルービックキューブにいくつシンメトリーがあるかという質問に答えてほしい。
シンメトリーは何個あるだろう？動かしても元どおりの形になるような動かし方は何通りあるだろうか？科学というのはいつも進化の過程にある。
ある理論は次の理論に取って代わられてしまう。
古代ギリシャ人が発明した科学は現代の観点から見るととても幼稚だ。
でも数学がすばらしいのはそれが不滅のものだからだ。
君のシンメトリーの名前は永遠に存在し続ける。
種は滅び星は爆発するが数学に残された君の名前は不滅だ。
さあでは挑戦してほしい。
色は無視して考えて。
この立方体のシンメトリーとは最初と同じ形になるような動かし方だからこれはシンメトリーだ。
これも…。
これだって。
ではこういうふうに答えてほしい。
正解のシンメトリーの数の「桁数」を当ててほしい。
分かったかい？計算で求めてもいいしあてずっぽうでもかまわない。
それは一体何桁の数字だろうか？もし１００個のシンメトリーがあると思ったらそれは３桁という事だ。
では参加したい人は立ち上がって。
いくぞ。
頭に数字を思い浮かべて。
よし！では予想してくれ。
当てた人は数学史に名前を残すチャンスだ。
いいかい？正確な証明式は要らないよ。
ではまず１０かそれ以下の桁数だと思った人はあいにくだが座って。
少なく見積もり過ぎだ。
シンメトリーは１０桁以上はある。
少し絞られたね。
では３０桁以上だと思った人も座って。
それは多すぎる。
では君は何桁だと思った？２０。
残念座って。
座って。
他には？２５。
正解だ！すばらしい。
２５桁そのとおりだ。
君はオックスフォードの数学研究者？名前は？どちらかといえば名字の方がいいな。
ハミルトン!?それはまずい。
同じ名前の数学者がいるんだよ。
では「カート・ハミルトン」とフルネームで付けよう。
こうして…出来た。
「カート・ハミルトン群」の誕生だ。
周期表の中にあるシンメトリーから誕生した新しいシンメトリー群の名前だ。
このようにルービックキューブは２５桁のシンメトリーを持つ。
巨大な数のシンメトリーだ。
これはより小さなシンメトリーに分解する事もできるがいずれにせよすごい数だ。
これだけの数の動かし方があるという事だ。
面白いのはおもちゃ会社は当初ルービックキューブの箱に「３０億通り以上の動かし方が可能！」と宣伝していた。
明らかに過小評価だ。
きっと数学が分かる人がいなかったんだろう。
実は私は他にも数多くの新しいシンメトリー群を発見してきた。
だからもし不滅の名前を手に入れたカート・ハミルトンさんを羨ましく思うならいい情報がある。
実はこのオックスフォードの数学研究所で私はあるプロジェクトを立ち上げた。
それはグアテマラの子供たちの教育を支援するチャリティーなんだが君たちもいくらかの寄付と引き換えに私が発見した新しいシンメトリーに君や家族の名前を付ける権利を得る事ができる。
グアテマラに寄付しながらシンメトリーに名前を付けられるわけだ。
さて数学においては日々進歩があるがまだまだ答えの出ない問題も山積みだ。
私自身にとってはまだ全てのシンメトリー群の組み合わせを見つけられてはいない。
あの１９万６，８８３次元に住む奇妙なシンメトリーのモンスターについても謎のままだ。
でもだからこそ数学をもっと続けたいという気持ちが湧いてくる。
哀れなガロアは二十歳で殺されてしまった。
幸い私はもう少し長く数学を続けられる。
黒川教授が日光で教えてくれたすばらしい引用に最後に戻ってみたい。
数学の探究について語っているように私には思えるからだ。
「全てをなにもかも整えてしまうのは望ましくない。
不完全さを残しておくことが大切で成長の余地がある」。
数学も不完全な定理や問題があるからこそ研究を続ける価値があると言えるだろう。
どうもありがとう。
（拍手）2014/12/12(金) 23:00〜23:55
ＮＨＫＥテレ１大阪
白熱教室海外版　オックスフォード白熱教室（２）シンメトリーのモンスターを追え[二][字]

決闘に倒れた革命家であり天才数学者・ガロア。彼が研究した「群論」の世界はとても難解だが、デュ・ソートイ教授がルービックキューブやアルハンブラ宮殿を例に楽しく解説

詳細情報
番組内容
決闘に倒れた革命家であり天才数学者・ガロア。彼が死の直前まで研究した「群論」や「シンメトリー（対称性）」の世界はとても難解だが、それは数学が美の世界をどのように捉えるかと関係がある。美しいアルハンブラ宮殿の文様やルービックキューブを例に、デュ・ソートイ教授が、群論とシンメトリーの世界を楽しく解説する。
出演者
【出演】オックスフォード大学教授…マーカス・デュ・ソートイ

ジャンル :
ドキュメンタリー／教養 – 社会・時事
趣味／教育 – その他

映像 : 1080i(1125i)、アスペクト比16:9 パンベクトルなし
音声 : 2/0モード（ステレオ）
日本語
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英語
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